2024-2025学年上海市松江二中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市松江二中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了角是第象限角　 　，函数的定义域是　 　，已知为锐角，已知，则　 　，不等式的解集为　 　，已知，，则用，表示　 　，已知，则的最小值为　 　等内容，欢迎下载使用。
1．角是第象限角 ．
2．函数的定义域是 ．
3．已知为锐角，已知，则 ．
4．不等式的解集为 ．
5．已知，，则用，表示 ．
6．若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
7．已知函数，且，那么的值为 ．
8．已知，则的最小值为 ．
9．关于的方程有两个不相等的实数根，，且满足，则实数的取值范围是 ．
10．已知函数，若的值域为，，则实数的取值范围是 ．
11．已知函数，，对于任意的，都能找到，，使得，则实数的取值范围是 ．
12．已知函数．对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，，，关于点，对称，若是关于的“对称函数”且恒成立，则实数的取值范围是 ．
二．选择题（共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）．
13．如果，那么下列不等式中正确的是
A．B．C．D．
14．已知是锐角，那么是
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于的正角D．第一或第二象限角
15．设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是
A．B．，
C．D．
16．已知是定义在上的偶函数，若、，且时，恒成立，且（2），则满足的实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
三．解答题（共有5题，满分78分）．
17．（14分）已知函数的定义域为集合，集合，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数．
18．（14分）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，，求实数的取值范围．
19．（14分）某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为72元．
（1）求的值；
（2）给出以下二种函数模型：
①，
②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入，（单位：元）的最小值．
20．（18分）已知函数，．
（1）当时，若，，求的最大值；
（2）若，，求的最小值；
（3）若，，使得成立，求的取值范围．
21．（18分）设是定义在，上的函数，若存在，使得在区，上是增函数，且在区间，上是减函数，则称为“含峰函数”， 称为峰点，，称为含峰区间．
（1）试判断是否为，上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
（2）若，、、是定义在，上峰点为2的“含峰函数”，且值域为，，求的取值范围；
（3）若是，上的“含峰函数”，求的取值范围．
参考答案
一．填空题
1．角是第象限角 三 ．
【答案】三．
解：因为，
而，
所以的终边在第三象限．
故答案为：三．
2．函数的定义域是 ， ．
解：要使函数有意义，则，
即，
解得，
函数的定义域为，．
故选：，
3．已知为锐角，已知，则 ．
【答案】．
解：，为锐角，
则，
故．
故答案为：．
4．不等式的解集为 或 ．
【答案】或．
解：由不等式，
可得或，
解得，或．
不等式的解集为或，
故答案为：或．
5．已知，，则用，表示 ．
【答案】．
解：因为，，
根据对数运算性质可得，，
．
故答案为：．
6．若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
【答案】．
解：因为不等式的解集为，
所以1是方程的根，且，
所以，即，解得或（不合题意，舍去），
所以实数的值为．
故答案为：．
7．已知函数，且，那么的值为 ．
解：，
，
．
故答案为：．
8．已知，则的最小值为 ．
【答案】．
解：由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：．
9．关于的方程有两个不相等的实数根，，且满足，则实数的取值范围是 ， ．
解：设，则在和上各有一个零点，
，即，解得．
故答案为，．
10．已知函数，若的值域为，，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
解：函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意，，，即，又，则有，
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，则，
有，因此，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
11．已知函数，，对于任意的，都能找到，，使得，则实数的取值范围是 ， ．
【答案】，．
解：，时，，，
，，，时，，，，，
对于任意的，都能找到，，使得，则，，，
所以，解得．
故答案为：，．
12．已知函数．对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，，，关于点，对称，若是关于的“对称函数”且恒成立，则实数的取值范围是 ．
解：由题意可得
，
由恒成立，
可得在，恒成立，
设，
由，均在，递减，
可得函数在，递减，
可得的最小值为（4），
即有，即，
可得的范围是．
故答案为：．
二．选择题
13．如果，那么下列不等式中正确的是
A．B．C．D．
解：，函数在上单调递增，
．
故选：．
14．已知是锐角，那么是
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于的正角D．第一或第二象限角
【答案】
解：因为是锐角，所以，
所以．
故选：．
15．设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是
A．B．，
C．D．
【答案】
解：令，作出的图象，如图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是，．
故选：．
16．已知是定义在上的偶函数，若、，且时，恒成立，且（2），则满足的实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
解：设，则，
所以，
令，则，所以函数在，上为增函数，
对任意的，，
所以函数为上的偶函数，且（2）（2），
由可得，即（2），
即（2），所以，，即，解得．
故选：．
三．解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数．
解：（1）令，解得，所以，
因为，所以，
解得，
即实数的取值范围是，；
（2）证明：函数的定义域，定义域关于原点对称，
，
而，，所以，
所以函数是奇函数但不是偶函数．
18．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2），．
解：（1）当时，
，即，，解得，
故所求不等式的解集为；
（2）令，，
，
则，即，
，当且仅当时，等号成立，
故，解得，
故实数的取值范围为，．
19．某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为72元．
（1）求的值；
（2）给出以下二种函数模型：
①，
②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入，（单位：元）的最小值．
【答案】（1）2．（2），．（3）64．
解：（1）依题意可得，该商品的日销售收入，
因第10天该商品的日销售收入为72元，
则，即，解得，
故的值为2．
（2）由表中的数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，
则选择模型，
从表中任取两组值，不妨令，解得，
即，显然表中其它各组值均满足这个函数，
故函数的解析式，．
（3）由（1）知，，，，由（2）知，，
，
当，，在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，取得最小值（元，
当，，在，上单调递减，
当时，取得最小值（元，
显然，则当，，（元，
故商品的日销售收入的最小值为64元．
20．已知函数，．
（1）当时，若，，求的最大值；
（2）若，，求的最小值；
（3）若，，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3），．
解：（1）当时，．
由，，得，，
当时，取得最大值为；
（2），其对称轴方程为，
当，即时，此时在，上单调递增，（1），
当，即时，此时在，上单调递减，在，上单调递增，
，
当，即时，此时在，上单调递减，（2）．
综上，；
（3），，使得成立，
故在，上恒成立，
即，令，则，，
则，即对任意，恒成立，
可得对任意，恒成立，
令，，，
当时，（3）．
，即的取值范围是，．
21．设是定义在，上的函数，若存在，使得在区，上是增函数，且在区间，上是减函数，则称为“含峰函数”， 称为峰点，，称为含峰区间．
（1）试判断是否为，上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
（2）若，、、是定义在，上峰点为2的“含峰函数”，且值域为，，求的取值范围；
（3）若是，上的“含峰函数”，求的取值范围．
【答案】（1）是区间，上的“含峰函数”，峰点为3．
（2），．
（3）．
解：（1）函数的图象开口向下，对称轴为的抛物线，
则在区间，上是严格增函数，在区间，上是严格减函数，
是区间，上的“含峰函数”，峰点为3；
（2）记函数，，，，
则在区间，上是严格增函数，在区间，上是严格减函数，，
则，解得，
，，，
则在，上严格递增，在，上是严格减函数，（2），（3），
由，则或（舍去），
此时，，，
则在，上严格递增，在，上严格递减，
（2），．
综上，当，时，的取值为；
当时，的取值范围是，．
（3）记，设任意，，，且，
则，
当时，由，，，且，
可知，，
，，
则为，上严格增函数，不符合题目要求，
当时，由，，．且，
可知，，
，则，即，
则为，上严格增函数，不符合题目要求，
当时，设任意，，，且，
此时，
，则，
即，为，上严格增函数，
设任意，，，且，
此时，
，则，
，为，上严格减函数，
是，上峰点为的“含峰函数”，
综上，的取值范围是．
（天
5
10
15
20
25
30
（个
55
60
65
70
65
60
（天
5
10
15
20
25
30
（个
55
60
65
70
65
60