2025届河北省秦皇岛市昌黎第一中学高三下学期英才班一轮中期检测（一模）数学试卷（含答案解析）

这是一份2025届河北省秦皇岛市昌黎第一中学高三下学期英才班一轮中期检测（一模）数学试卷（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数在复平面内对应的点为，若，则（ ）
2. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
3. 已知单位向量，若，则（ ）
4. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：）
5. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（ ）
6. 已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ）
7. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ）
8. 若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 的展开式中（ ）
10. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ）
11. 已知椭圆为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，延长，交椭圆于点，且为椭圆的左顶点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个.
13. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________.
14. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为__________；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
(1)计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.
(2)求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：.参考公式：.
17. 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：.
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为.
(1)求双曲线的方程.
(2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点.
（i）证明：.
（ii）求的取值范围.
19. 若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.
(1)若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.
(2)若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.
(3)若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有.
2025届河北省秦皇岛市昌黎第一中学高三下学期英才班一轮中期检测（一模）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、集合与常用逻辑用语、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．4
B．5
C．6
D．7
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．前三项系数之和为112
B．二项式系数最大的项是第3项
C．常数项为240
D．所有项的系数之和为1
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点中心对称
A．若，则椭圆的离心率为
B．若，则椭圆的离心率为
C．
D．若，则
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
5
新增新能源汽车万辆
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
5
适中
9
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
复数的坐标表示；与复数模相关的轨迹（图形）问题
2
0.85
由指数（型）的单调性求参数
3
0.65
向量夹角的计算
4
0.85
对数的运算性质的应用；函数新定义
5
0.65
由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；求图象变化前（后）的解析式
6
0.65
相交圆的公共弦方程
7
0.65
锥体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；圆台表面积的有关计算
8
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究能成立问题
二、多选题
9
0.85
二项式系数的增减性和最值；二项展开式各项的系数和；求指定项的系数
10
0.65
求函数值；抽象函数的奇偶性；判断或证明函数的对称性
11
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
三、填空题
12
0.85
求集合的子集（真子集）
13
0.85
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
14
0.4
分步乘法计数原理及简单应用；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值
四、解答题
15
0.65
空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法；证明线面平行
16
0.65
求回归直线方程；相关系数的计算；根据回归方程进行数据估计
17
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究函数的零点；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数证明不等式
18
0.65
根据a、b、c求双曲线的标准方程；双曲线中的定值问题；双曲线中的参数及范围
19
0.15
数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
函数与导数
2,4,8,10,17
3
平面向量
3
4
三角函数与解三角形
5,13
5
平面解析几何
6,11,18
6
空间向量与立体几何
7,15
7
计数原理与概率统计
9,14,16
8
集合与常用逻辑用语
12
9
数列
19