2024-2025学年河北省秦皇岛市昌黎一中高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛市昌黎一中高三（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2−60)的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线C如图所示，若k=2，点P(x,y)(xy>0)在曲线C上，则( )
A. C的方程为(x2+y2)2=4xy
B. 曲线C关于直线y=x对称
C. 点P到两坐标轴距离之积的最大值为2
D. 若OP的斜率为2，则|OP|=4 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f(x)=xcsx在(0,0)处的切线被圆C：(x−1)2+(x+1)2=5截得的弦长为______．
13.已知P是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上第一象限内的点，M在y轴的正半轴上，连接PM，并延长与x轴交于点N，且M恰好为PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，连接QM，设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，若ak1+bk2=0，则椭圆E的离心率为______．
14.2024年6月中专生姜萍以93分全球第12名的成绩入围全球数学竞赛决赛，成为社交媒体上的热门话题，也使数学竞赛成为各大高校关注的焦点.某高校借此热度在数学系举行了模拟数学竞赛，经过选拔之后组织了甲、乙两个竞赛队进行冠亚军争夺赛.比赛时，主持人先展示出一道题目，再从标有1，2，3，4的四张卡片中随机抽取一张，若数字为奇数，则由甲队答题，若数字为偶数，则由乙队答题，在规定时间内，若答对本题，则本队得10分，否则对手得10分.按照这种方式依次进行下一题的答题，直到其中一个队的得分超过另一个队30分，比赛结束，分高者为冠军.已知甲、乙答对每道题的概率分别为59,49，且互不影响.前3道题，甲队获得20分的概率为______，若第一个问题甲队得10分，恰好回答完第7道题后决出冠军，则乙队获得冠军的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+csC=0，且c= 3b．
(1)求C；
(2)若a=2，记∠BAC的角平分线与BC交于点D，求AD．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，O为AC的中点，D在线段PC上.已知PA=PC，AB=BC=2，∠ABC=120°，PO=3,PB= 10．
(1)求证：平面POB⊥平面ABC；
(2)是否存在点D，使二面角D−AB−C的正切值为2 35？若存在，求出PD的长；否则，请说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=mx2+2ln(x+1)+5(m∈R)．
(1)若m=−2，求证：f(x)0,b>0)的离心率为 2，且E上的点到焦点距离的最小值为 2−1．
(1)求E的方程；
(2)过直线x= 22上一点P，作双曲线E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB．
(i)求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
(ii)已知点P在第一象限，A，B分别在第一、四象限，若△PAB的面积为5 306，求直线AB的方程．
19.(本小题17分)
若对∀n∈N∗，都有|an−bn|≤k(k∈N∗)，则称{an}与{bn}为“k级相邻数列”．
(1)设{an}的前n项和Sn=1−12n，b1=1，且bn+1−bn=an，试判断{an}与{bn}是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若an=2n，bn=4n+n2n+k，且{an}与{bn}为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知ai，bi∈{1,2,3,4}(i=1，2，3，4)，由数列{an}的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若{an}与{bn}为“1级相邻数列”，求满足条件的数列{bn}的个数．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.AC
11.BCD
12.2 3
13.2 23
14.100243 256881
15.解：(1)∵c= 3b，由正弦定理可得sinC= 3sinB，又sinB+csC=0，
∴sinC=− 3csC，∴tanC=− 3，
又∵00)，则1−2t2=2−5u2，
代入(∗)可得：u32−5u2=1 3，即 3u3+5u2−2=0，( 3u)3+5( 3u)2−6=0，
再设 3u=v，则得(v−1)(v2+6v+6)=0，
解得v=1，(负值舍去)，则u=1 3，所以2t2+1=53，
解得t= 33，所以直线AB的方程为 3x− 2y− 6=0．
19.解：(1)设{an}的前n项和Sn=1−12n，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(1−12n)−(1−12n−1)=12n，
当n=1时，a1=S1=1−12=12，
所以an=12n；
由b1=1，且bn+1−bn=an，
所以bn+1−bn=12n，
所以bn=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(bn−bn−1)=1+12+122+⋯+12n−1=2−12n−1，
所以|an−bn|=|12n−(2−12n−1)|=|2−32n|≤2，
由“k级相邻数列”的定义：若对∀n∈N∗，都有|an−bn|≤k(k∈N∗)，
则称{an}与{bn}为“k级相邻数列”，
所以{an}与{bn}是“2级相邻数列”
(2)由an=2n,bn=4n+n2n+k，
所以|an−bn|=|4n+n2n+k−2n|=|n2n+k|，
又{an}与{bn}为“4级相邻数列”，结合“k级相邻数列”的定义，
所以|n2n+k|≤4，得−4≤n2n+k≤4，又n∈N∗，
令f(n)=n2n，得f(n+1)−f(n)=n+12n+1−n2n=n+122n−n2n=1−n2n+1≤0，
所以f(n)=n2n单调递减，所以f(n)=n2n的最大值为12，且f(n)>0，
所以12+k≤4，且k≥−4，可得−4≤k≤72，即k的取值范围是[−4,72]；
(3)已知ai，bi∈{1,2,3,4}(i=1，2，3，4)，
由数列{an}的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若{an}与{bn}为“1级相邻数列”，
因为{an}与{bn}为“1级相邻数列”，所以|ai−bi|≤1(i=1,2,3,4)
当ai=1时，bi∈{1,2}有2种不同选择；ai=2时，bi∈{1,2,3}有3种不同选择；
ai=3时，bi∈{2,3,4}有3种不同选择，ai=4时，bi∈{3,4}有2中不同选择．
由数列{an}的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，
所以M有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共6种不同的情况．
当M={1,2}时，数列{an}可能是1个1、3个2的排列(有4种不同的排列)；
也可能是2个1、2个2的排列(有C42=6种不同的排列)；
还可能是3个1、1个2的排列(有4种不同的排列)．
1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列，
3个1、1个2的每一种排列对应的数列{bn}分别有2×33=54，22×32=36，23×3=24种不同的清况，
总共4×24+6×36+4×54=528个不同的数列{bn}；
同样M={3,4}，{1,3}，{2,4}时也各贡献528个不同的数列{bn}；
M={2,3}时也分是1个2、3个3的排列(有4种不同的排列)；
也可能是2个2、2个3的排列(有C42=6种不同的排列)；
还可能是3个2、1个3的排列(有4种不同的排列)，
总共(4+6+4)×22×32=14×36=504个不同的数列{bn}；
M={1,4}时，总共(4+6+4)×24=14×16=224个不同的数列{bn}；
共计有4×528+504+224=2840个不同的数列{bn}；
即满足条件的数列{bn}的个数为2840．