河北昌黎第一中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟演练数学试卷（含答案解析）

这是一份河北昌黎第一中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟演练数学试卷（含答案解析），共48页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
2. 已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
3. 已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
4. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
5. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
6. 已知圆过点，点在圆上，过点的直线与过点的直线互相垂直，且垂足为，则的最大值为（ ）
7. 在《通用技术》课上，某同学设计了如图所示的多面体，已知平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，，且均为边长为1的正三角形，该同学欲过的中点作该几何体的截面，若，则截面的面积为（ ）
8. 表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知正项等比数列的公比为，若，且，则（ ）
10. 已知在正三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ）
11. 已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，点在轴上方，设为坐标原点，若，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
13. 如图，记函数在一个周期内的图象为曲线，直线与交于两点，直线与交于两点，连接，若四边形为平行四边形，且其面积为，则______．

14. 某种“摩斯密码”的传递常用手指敲击硬物传递声响的方式进行，敲一下，意思为“洞”，敲两下，意思为“拐”，若小明用手指敲击的数量依次为一下、一下、两下，则对方收到的密码指示为“洞洞拐”.已知新手小明尝试用5个“洞”和5个“拐”随意传递密码，则每个“洞”之前“拐”的个数多于“洞”的个数的概率为______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 某大学舞蹈社有4名男生、2名女生，现要举办社团巡礼活动，拟从这6人中抽取2人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被选中的人可以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下：
每参加1项比赛，社团的积分将增加100分.
(1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该舞蹈社团最终的积分为600分的概率；
(3)现学校对参加比赛的社团提出两种嘉奖方案．
方案一：每个社团奖励“参与奖”400元；
方案二：对参加比赛的社团最后获得的积分以“1积分=1元”奖金进行兑换.
若你是舞蹈社社长，以获得的奖励金额的期望为决策依据，判断哪种方案比较有利.
16. 设为数列的前项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，求的取值范围．
17. 已知函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围．
18. 已知，动点满足为线段上一点，为线段上一点，且，，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)设点，且的最小值为2．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若为的左，右顶点，过的直线与交于不同雨的两点，直线与交于点，则是否存在点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
19. 在三棱锥中，，三棱锥的各顶点均在表面积为的球的球面上，且四点共面．
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求球心到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
河北昌黎第一中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟演练数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面解析几何、三角函数与解三角形、函数与导数、空间向量与立体几何、数列、平面向量、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．i
D．1
A．
B．
C．
D．
A．3
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2025
B．2024
C．2023
D．2022
A．
B．
C．是数列中的项
D．成等差数列
A．平面
B．若，则
C．若，则直线与直线所成角的余弦值为
D．若，则平面与平面的夹角为
A．
B．的倾斜角为
C．
D．的面积为
参加一项的可能性
参加两项的可能性
参加三项的可能性
女生
0.5
0.5
0
男生
0
0.5
0.5
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
1
适中
11
较难
5
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
求复数的实部与虚部；复数的除法运算；复数的乘方
2
0.65
根据必要不充分条件求参数；解不含参数的一元二次不等式
3
0.94
已知方程求双曲线的渐近线
4
0.85
正弦定理判定三角形解的个数
5
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求平行线间的距离；已知切线（斜率）求参数
6
0.65
定点到圆上点的最值（范围）；判断圆与圆的位置关系；求过已知三点的圆的标准方程；轨迹问题——圆
7
0.65
棱锥中截面的有关计算；空间中的线共点问题；面面平行证明线线平行；证明线面垂直
8
0.4
求函数值；求抽象函数的解析式
二、多选题
9
0.65
等差中项的应用；等比数列通项公式的基本量计算
10
0.65
求异面直线所成的角；证明线面平行；求二面角；空间位置关系的向量证明
11
0.4
抛物线中的三角形或四边形面积问题；根据韦达定理求参数；抛物线定义的理解
三、填空题
12
0.65
求投影向量
13
0.65
正、余弦型三角函数图象的应用；三角函数图象的综合应用；识别正（余）弦型三角函数的图象
14
0.4
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率
四、解答题
15
0.65
计算条件概率；求离散型随机变量的均值；计算古典概型问题的概率；独立事件的乘法公式
16
0.65
确定数列中的最大（小）项；由递推关系证明等比数列；写出等比数列的通项公式；利用an与sn关系求通项或项
17
0.65
求已知函数的极值；利用导数研究函数的零点；根据函数零点的个数求参数范围；由导数求函数的最值（不含参）
18
0.4
求椭圆中的最值问题；椭圆中存在定点满足某条件问题；轨迹问题——椭圆
19
0.4
求点面距离；求线面角；锥体体积的有关计算；证明面面垂直
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
等式与不等式
2
4
平面解析几何
3,5,6,11,18
5
三角函数与解三角形
4,13
6
函数与导数
5,8,17
7
空间向量与立体几何
7,10,19
8
数列
9,16
9
平面向量
12
10
计数原理与概率统计
14,15