河北省昌黎第一中学2025届高三上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份河北省昌黎第一中学2025届高三上学期期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx2−60)的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线C如下图所示，若k=2，点Px,y(xy>0)在曲线C上，则( )
A. C的方程为x2+y22=4xyB. 曲线C关于直线y=x对称
C. 点P到两坐标轴距离之积的最大值为2D. 若OP的斜率为2，则OP=4 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线fx=xcsx在0,0处的切线被圆C:x−12+x+12=5截得的弦长为 ．
13.已知P是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上第一象限内的点，M在y轴的正半轴上，连接PM，并延长与x轴交于点N，且M恰好为PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，连接QM，设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，若ak1+bk2=0，则椭圆E的离心率为 ．
14.2024年6月中专生姜萍以93分全球第12名的成绩入围全球数学竞赛决赛，成为社交媒体上的热门话题，也使数学竞赛成为各大高校关注的焦点．某高校借此热度在数学系举行了模拟数学竞赛，经过选拔之后组织了甲、乙两个竞赛队进行冠亚军争夺赛．比赛时，主持人先展示出一道题目，再从标有1，2，3，4的四张卡片中随机抽取一张，若数字为奇数，则由甲队答题，若数字为偶数，则由乙队答题，在规定时间内，若答对本题，则本队得10分，否则对手得10分．按照这种方式依次进行下一题的答题，直到其中一个队的得分超过另一个队30分，比赛结束，分高者为冠军．已知甲、乙答对每道题的概率分别为59、49，且互不影响，前3道题，甲队获得20分的概率为 ，若第一个问题甲队得10分，恰好回答完第7道题后决出冠军，则乙队获得冠军的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB+csC=0，且c= 3b．
(1)求C；
(2)若a=2，记∠BAC的角平分线与BC交于点D，求AD．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，O为AC的中点，D在线段PC上．已知PA=PC,AB=BC=2，∠ABC=120 ∘,PO=3,PB= 10．
(1)求证：平面POB⊥平面ABC；
(2)是否存在点D，使二面角D−AB−C的正切值为2 35？若存在，求出PD的长；否则，请说明理由．
17.(本小题12分)
已知函数fx=mx2+2lnx+1+5m∈R.
(1)若m=−2，求证：fx0,b>0)的离心率为 2，且E上的点到焦点距离的最小值为 2−1．
(1)求E的方程；
(2)过直线x= 22上一点P，作双曲线E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB．
(i)求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
(ⅱ)已知点P在第一象限，A，B分别在第一、四象限，若▵PAB的面积为5 306，求直线AB的方程．
19.(本小题12分)
若对∀n∈N∗，都有an−bn≤kk∈N∗，则称an与bn为“k级相邻数列”．
(1)设an的前n项和Sn=1−12n,b1=1，且bn+1−bn=an，试判断an与bn是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若an=2n,bn=4n+n2n+k，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知ai,bi∈1,2,3,4i=1,2,3,4，由数列an的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若an与bn为“1级相邻数列”，求满足条件的数列bn的个数．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.AC
11.BCD
12.2 3
13.2 23/23 2
14.100243 ；256881
15.(1)因为c= 3b，由正弦定理可得：sinC= 3sinB，又sinB+csC=0，
所以sinC=− 3csC，所以tanC=− 3，
又因为00)，则1−2t2=2−5u2，
代入(∗)可得：u32−5u2=1 3，即 3u3+5u2−2=0， 3u3+5 3u2−6=0，
再设 3u=v，则得v−1v2+6v+6=0
解得v=1，(负值舍去)，则u=1 3，所以2t2+1=53，
解得t= 33，所以直线AB的方程为 3x− 2y− 6=0．

19.(1)当n=1时，a1=S1=1−12=12，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=1−12n−1−12n−1=12n，
当n=1时，也a1=12成立，所以an=12n，
所以bn+1−bn=12n，
所以bn=b1+b2−b1+b3−b2+⋯+bn−bn−1=1+12+122+⋯+12n−1=2−12n−1，
所以an−bn=12n−2−12n−1=2−32n≤2，
所以an与bn是“2级相邻数列”
(2)由an=2n,bn=4n+n2n+k，
所以an−bn=4n+n2n+k−2n=n2n+k，
又an与bn为“4级相邻数列”，所以n2n+k≤4，得−4≤n2n+k≤4，又n∈N∗
令fn=n2n，得fn+1−fn=n+12n+1−n2n=n+122n−n2n=1−n2n+1≤0，
所以fn=n2n单调递减，所以fn=n2n的最大值为12，且fn>0，
所以12+k≤4k≥−4∴−4≤k≤72,
(3)因为an与bn为“1级相邻数列”，所以ai−bi≤1i=1,2,3,4
当ai=1时，bi∈1,2有2种不同选择；ai=2时，bi∈1,2,3有3种不同选择；ai=3时，bi∈2,3,4有3种不同选择，ai=4时，bi∈3,4有2中不同选择．
由数列an的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，所以M有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6种不同的情况．
当M={1,2}时，数列an可能是1个1、3个2的排列(有4种不同的排列)；也可能是2个1、2个2的排列(有C42=6种不同的排列)；还可能是3个1、1个2的排列(有4种不同的排列)．
1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列，3个1、1个2的每一种排列对应的数列bn分别有2×33=54,22×32=36,23×3=24种不同的清况，贡献4×24+6×36+4×54=528个不同的数列bn；
同样M=3,4,1,3,2,4时也各贡献528个不同的数列bn；
M=2,3时也分是1个2、3个3的排列(有4种不同的排列)；也可能是2个2、2个3的排列(有C42=6种不同的排列)；还可能是3个2、1个3的排列(有4种不同的排列)，贡献4+6+4×22×32=14×36=504个不同的数列bn；
M=1,4时贡献4+6+4×24=14×16=224个不同的数列bn；
共计有4×528+504+224=2840个不同的数列bn；
即满足条件的数列bn的个数为2840．