北京市房山区2024-2025学年高三下学期一模考试数学试卷（含答案解析）

这是一份北京市房山区2024-2025学年高三下学期一模考试数学试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，六；诱导公式一等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，集合，则（ ）
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
3. 已知，且，则（ ）
4. 直线与圆交于两点，则（ ）
5. 已知向量，若，则（ ）
6. 若，则（ ）
7. 已知函数，则“”是“”的（ ）
8. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（ ）
9. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
10. 已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 已知函数，则__________.
12. 已知是等差数列，且，则的通项公式__________.
13. 已知是抛物线的焦点，则的坐标为__________，设是直线上一点，直线与抛物线的一个交点为，若，则点到轴的距离为__________.
14. 若对任意实数恒成立，则满足条件的一组的值为__________，__________.
15. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③面积的最大值为1；
④（为坐标原点）.
其中正确结论的序号是__________.
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 在中，.
(1)求；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在长方体中，为的中点，与平面交于点.
(1)求证：为的中点；
(2)若二面角的余弦值为，求的长度.
18. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域，赋能潜力巨大.为了解某校学生对某款学习软件的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取了90名学生，获得数据如下：
假设学生是否使用该款学习软件相互独立.用频率估计概率.
(1)估计该校学生使用该款学习软件的概率；
(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)从该校所有学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.的方差分别记为，试比较与的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
20. 已知函数在处取得极值.
(1)求的单调区间；
(2)设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
21. 设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值．
(1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由；
(2)当时，若具有性质，求的最大值；
(3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值．
北京市房山区2024-2025学年高三下学期一模考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、函数与导数、平面解析几何、平面向量、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．
D．
A．2
B．
C．
D．
A．
B．41
C．
D．40
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．平面
B．八面体的体积为
C．的最小值为
D．点到平面的距离为
A．300
B．450
C．600
D．750
A．若，则数列是等比数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是常数列，则
D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
是否使用该款学习软件
男生
女生
使用
40人
30人
不使用
10人
10人
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
2
较易
7
适中
9
较难
1
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
复数代数形式的乘法运算；判断复数对应的点所在的象限
3
0.65
由已知条件判断所给不等式是否正确；作差法比较代数式的大小；比较对数式的大小
4
0.65
求点到直线的距离；圆的弦长与中点弦
5
0.65
坐标计算向量的模；向量垂直的坐标表示
6
0.85
求指定项的系数
7
0.85
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；判断命题的充分不必要条件
8
0.65
锥体体积的有关计算；求点面距离；棱锥的展开图；证明线面平行
9
0.85
指数幂的化简、求值；指数函数模型的应用（2）
10
0.65
由递推数列研究数列的有关性质；由定义判定等比数列；判断数列的增减性；数列周期性的应用
二、填空题
11
0.85
求分段函数解析式或求函数的值；对数的运算；指数幂的运算
12
0.94
利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算
13
0.85
根据抛物线方程求焦点或准线
14
0.85
诱导公式五、六；诱导公式一
15
0.4
由方程研究曲线的性质
三、解答题
16
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；诱导公式二、三、四；余弦定理解三角形
17
0.65
面面平行证明线线平行；已知面面角求其他量；面面角的向量求法
18
0.65
求离散型随机变量的均值；二项分布的方差；计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列
19
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据a、b、c求椭圆标准方程；求椭圆的离心率或离心率的取值范围
20
0.15
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；根据极值点求参数；零点存在性定理的应用；利用导数求函数的单调区间（不含参）
21
0.15
由不等式的性质比较数（式）大小；集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7,21
2
等式与不等式
1,3,21
3
复数
2
4
函数与导数
3,9,11,20
5
平面解析几何
4,13,15,19
6
平面向量
5
7
计数原理与概率统计
6,18
8
三角函数与解三角形
7,14,16
9
空间向量与立体几何
8,17
10
数列
10,12