北京市房山区2025届高三下学期一模数学试卷（扫描版附答案）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11） （12） （13）
（14）（答案不唯一） （15）① ③ ④

三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，
得.
所以.
所以.
因为，所以.
所以.
所以.
（Ⅱ）选条件②:，.
由， 可得.
由正弦定理，得.
由余弦定理 ，得
，整理得.
解得，或（舍）.
所以的面积 .
条件③：.
因为，且，所以.
由余弦定理，得
解得，或（舍）
所以的面积 .
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）在长方体中，
因为 平面平面，
平面平面平面平面，
所以.
同理
所以是平行四边形.
所以.
又
所以
所以为的中点.
（Ⅱ）在长方体中，建立空间直角坐标系，设，
则，，.
因此，.
设平面的法向量为，
则 即
令，则， ，因此.
易知平面的法向量为，则
.
解得. 所以.
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，名学生中使用该款学习软件APP的共人，
所以该校学生使用该款学习软件APP的概率可估计为
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取人，“他使用该学习软件APP”记为事件，
从该校全体女生中随机抽取人，“她使用该学习软件APP”记为事件，
根据题中数据可知：
随机变量的可能取值为

所以的分布列为：
数学期望
（Ⅲ）
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意可得 ，.
所以 .
所以椭圆的方程为.
离心率.
法一（Ⅱ）存在符合要求的点.
设直线的方程为 （显然），
设，，
联立方程
整理得．
所以，.
因为 ．
又，所以．
所以 ．
所以直线的斜率与直线的斜率互为相反数．
设直线的斜率为，直线的斜率为，设点，
．
整理可得，
．
因为，所以
．
即．
解得．
所以点的坐标．
法二（Ⅱ）设直线的方程为 （显然），
设，，
联立方程
整理得．
所以 ，．
因为．
又 ，
所以．
即 ，
整理得．
解得．
所以点的坐标．
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由，得，.
因为函数在处有定义，所以.
因为在处取得极值，所以，
解得，或（舍）.
当时，，
.
令，解得（舍）.
与的变化情况如下：
所以函数的单调递增为；单调递减区间为.
（Ⅱ）由，得.
由（Ⅰ）可知，，
因为
所以存在，使.
方法一：曲线在点处的切线方程为
，即.
下面证明：.
设 ，则.
当时， ，所以，即.
所以 在上单调递增.
因为，所以.
所以，即.
所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
方法二：，
即
所以曲线在处的切线的方程为，
即.
因为，
所以的方程为.
同理，曲线在处的切线的方程为.
下面证明：.
设.
所以函数在上单调递增，
因为，所以.
所以，即.
所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以具有性质.
因为
所以.
（Ⅱ）方法:1：
由性质得， 所以，
因为，，，
所以，，，，
所以


所以，
又因为当，时，
具有性质，
且，，
所以Mα,β的最大值为1.
（Ⅱ）方法2：
先用反证法证明.
假设，
由，则.
所以，同理，
所以.
由，
所以.
与已知矛盾，假设不成立.
所以.
当时，.
此时，
所以的最大值为1.
（Ⅲ）由性质可得 .
所以 = 1 \* GB3 ①
且 = 2 \* GB3 ②
在 = 1 \* GB3 ①中不妨设
在 = 2 \* GB3 ②中不妨设，
由对称性可以设
所以，， ，… ，.
所以




即
因为存在
（其中有个，个），

（其中有个，个）
具有性质.
并且
所以
综上最大值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
B
D
C
A
D
C
C
极大值