2023年北京市房山区高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年北京市房山区高考数学一模试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在的展开式中，的系数是(    )

A.  B. 8 C.  D. 4

3.  已知数列对任意满足，且，则等于(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4.  “”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上一点P到点F的距离为3，则点P到原点的距离为(    )

A. 2 B. 3 C.  D.

6.  已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为(    )

A.  B.  C. 4 D. 6

7.  已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有；②对任意实数，，当时，都有则函数的解析式可能为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，，P为所在平面内的动点，且，则的最大值为(    )

A. 16 B. 10 C. 8 D. 4

9.  血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间单位：时的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间单位：时为(    )
精确到，参考数据：，

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知正方体，则下列结论中正确的是(    )

A. 与三条直线AB，，所成的角都相等的直线有且仅有一条
B. 与三条直线AB，，所成的角都相等的平面有且仅有一个
C. 到三条直线AB，，的距离都相等的点恰有两个
D. 到三条直线AB，，的距离都相等的点有无数个
 

11.  在复平面内复数z对应点的坐标为，则______ .

12.  能够说明“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______ .

13.  已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______.

14.  在中，，，则______ ；的值为______ .

15.  设函数给出下列四个结论：①函数的值域是R；②，方程恰有3个实数根；③，使得；④若实数，且则的最大值为其中所有正确结论的序号是______ .

16.  已知函数的最小正周期为
求值；
再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

17.  如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，，M为BC的中点.
求证：平面PBD；
求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
求D到平面APM的距离.

18.  某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如表：

从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率；
从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；
判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.

19.  已知椭圆过点，且离心率为
求椭圆E的标准方程；
若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.

20.  已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在处取得极值，求的单调区间；
求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.

21.  如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
若数列为“速增数列”.且任意项，，，，求正整数k的最大值；
已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，2，3，…，2k，证明：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：集合，，
则
故选：
直接求并集得到答案．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：的展开式通项为，
取，则，系数为
故选：
直接利用二项式定理计算即可．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：由题意可得，，，，
故选：
由数列递推公式依次计算，，，，即可得答案．
本题主要考查数列的递推式，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：当时，，满足，充分性；
取，满足，不满足，不必要性．
故“”是“”的充分而不必要条件．
故选：
当时，，满足，充分性，取计算得到不必要性，得到答案．
本题主要考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：抛物线C：的准线为，设，
，，，
点P到原点的距离为
故选：
由抛物线的定义，将抛物线C上一点P到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点P的坐标，进而得出点P到原点的距离．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：由圆的方程，可知圆心，半径，
直线过定点，
因为，则定点在圆内，
则点和圆心连线的长度为，
当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时，
由圆的弦长公式可得，
故选：
先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小．
本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：对任意实数x，都有，故函数为奇函数；
对任意实数，，当时，都有，即，
即，，故函数单调递减．
对选项A：单调递增，不满足；
对选项B：单调递减，且函数为奇函数，满足；
对选项C：单调递增，不满足；
对选项D：不是奇函数，不满足．
故选：
确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案．
本题主要考查了函数性质的判断及应用，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：由题意可得，点P的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，

取AB的中点D，则，
所以，
故选：
由已知求出点P的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，PD的最大值即圆心到定点D的距离加上半径，代入化简求值即可．
本题考查平面向量的综合运用，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时．
故选：
依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】D 

【解析】解：，，
与三直线直线AB，，所成的角都相等，
与直线平行的直线均与三直线直线AB，，所成的角都相等，故有无数条，故A错误；
平面与三直线直线AB，，所成的角都相等，
而与平面平行的平面均与直线AB，，所成的角都相等，故B错误；
以D为坐标原点，DA，DC，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，
P到直线AB的距离，
同理可得P到直线和的距离为，
故上的点到三条直线AB，，的距离相等，
故有无数个点到三条直线AB，，的距离相等，故C错误，D正确．
故选：
利用空间几何体的性质，逐项判断即可．
本题考查空间几何体的性持，考查线面角，点到线的距离，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为复数z在复平面内对应点的坐标为，
所以，所以
故答案为：
根据复数的几何意义表示复数z，然后利用复数乘法运算法则计算．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

12.【答案】，，0 

【解析】解：若，当时，；
当时，；
当时，；
“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为，，0，
故答案为：，，答案不唯一
根据不等式的性质，讨论c的正负和三种情况，得出结论．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
 

13.【答案】2 

【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，即，解得
故答案为：
利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
 

14.【答案】  2 

【解析】解：，
因为，所以，
所以，，
又，则，即，
所以，又，则，
所以，
所以
故答案为：；
化简得到，再根据正弦定理得到，得到，计算得到答案．
本题主要考查了二倍角公式的应用，考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】②③④ 

【解析】解：作出函数的图象如下图所示：

对于①，由图可知，函数的值域不是R，故①不正确；
对于②，由图可知，，方程恰有3个实数根，故②正确；
对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数，，，满足，当满足时，
由图可知，即，，即，
所以，由图可知，
而在上单调递减，所以
所以
则的最大值为，故④正确．
故答案为：②③④．
画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：由条件可知，，解得；
由可知，，
若选择条件①：是偶函数，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
令，，
解得，
函数的递增区间是；
若选择条件②：图象过点，
则，
则，即，
因为，
所以，
所以，
所以，
令，
解得：，
所以的单调递增区间是
如选择条件③：图象的一个对称中心为，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以，
令，
解得，
所以的单调递增区间是 

【解析】根据周期公式，即可求解；
分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：证明：，，M为BC的中点，
，又四棱锥的底面是矩形，
，
∽，，
又，，
底面ABCD，底面ABCD，
，又，且DB，平面PBD，
平面PBD；
平面ABCD，又AD，平面ABCD，
，，又四棱锥的底面是矩形，
，建立如下图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：
，
，，，
平面ABCD，平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
则，取，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为：
；
由可知平面APM的法向量为，，
到平面APM的距离为 

【解析】根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
利用空间点到直线距离公式进行求解即可．
本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，向量法求解点面距问题，属中档题．
 

18.【答案】解：共10份书卷，准确率低于有6份，所求概率为；
正确率不低于的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，
，1，2，又；；，
的分布列为：

；
此次公益讲座的宣传效果很好，理由如下：
讲座前的平均准确率为：，
讲座后的平均准确率为：，
平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好． 

【解析】共10份书卷，准确率低于有6份，计算概率即可．
的取值可能是0，1，2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案．
讲座前的平均准确率为，讲座后的平均准确率为，提升明显，得到答案．
本题考查古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，平均数的概念，属中档题．
 

19.【答案】解：因为椭圆过点，所以，
又，，所以，得到，
所以椭圆E的标准方程为；
证明：当直线斜率l存在且不为0时，设直线l的方程为，
联立直线l和椭圆E的方程得，消去y并整理，得，
因为直线l与椭圆E有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，，
化简整理得，
因为直线MN与l垂直，所以直线MN的方程为，
联立得，解得，，
所以，
把代入上式得，，所以，为定值；
当直线l斜率为0时，直线l：，过点作直线l的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
当直线l斜率不存在时，直线，过点作直线l的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
综上所述，，为定值． 

【解析】利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出a的值，从而求到椭圆E的标准方程；
对直线l的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

20.【答案】解：由，
可得，
当时，，，
在点处的切线方程为；
因为在处取得极值，所以，解得，
检验如下：
令，解得或，
若或时，则；若，则
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
故在处取得极小值，满足题意，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
证明：由知，由时，得，因，
当时，当时，，即函数在上单调递减，则，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；
当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
于是得在上的最大值为或，
而，，，即，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，
所以当时，关于x的不等式在区间上无解． 

【解析】根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；
根据可求出，并对其进行检验即可求解；
分和两种情况，求出函数在区间上的最大值即可作答．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，则，，
又，故，数列是“速增数列”．
，，，
当时，，
即，，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为
证明：，故，
即；，
故，即，
同理可得：，，，
故，
故，，得证． 

【解析】计算，，，得到答案．
根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案．
证明，得到，得到，代入计算得到证明．
本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键．