上海市西延安中学2024-2025学年上学期七年级期中模拟数学卷

这是一份上海市西延安中学2024-2025学年上学期七年级期中模拟数学卷，共30页。试卷主要包含了 2)2x+2 = 3x+1等内容，欢迎下载使用。
2024 学年第一学期初一年级数学期中模拟
一．填空题（每空 2 分，共 34 分）
1 ．用代数式表示减去y 的差”是 ．
2 ．单项式 的次数是 ，系数是 ．
3 ．将整式-2x2y + xy2 - 3y3 - x4 按字母y 降幂排列为 ．
与 的差是单项式，则m + n = ．
5 ．计算 ．
6 ．计算：(x - y - z )2 = ．
7 ．计算：(x -y )11 ÷ (y - x)6 = （用幂的形式表示结果）．
8 ．计算 ．
9 ．因式分解：6mn2 - 9m2n3 - 3mn = 10 ．因式分解 ．
11 ．计算：(-8)675 × 0.52024 = ．
12 ．若关于 x 的整式4x2 + mx + 9是某个整式的平方，则 m 的值是 ．
13 ．若4xmy +(m - 3)y - x 是关于x 、y 的四次三项式，则m = ．
14 ．已知关于x 的整式x + a 与3 - 2x 的乘积为-2x2 + x + b ，那么 ab = ．
15 ．已知5x2 - 6x + 4xy + y2 + 9 = 0 ，那么 xy = ．
16 ．有两个正方形A 、B ，将B 放在A 的内部得图1，将A 、B 并列放置后得图2 ，如果图1 和图2 中阴影部分的面积分别为21 和6 ，则正方形 A 、B 的面积之和是 ．
二．选择题（每题 2 分，共 8 分）
17 ．下列说法正确的是( )
A ． 是二次单项式 是二次整式
C ．0 是单项式 D ．a2 - 2a + 4 是一个整式的平方
18 ．下列各式一定成立的是( )
A ．3a + 4a = 7a2 B ．m2 . m3 = m6 C ．(3x3 )2 = 6x6 D ．(-x3 )5 = (-x5 )3
19 ．下列各式不能用平方差公式计算的是( )
A ．(a - 2b)(a + 2b) B ．(2x + y)(y - 2x)
C ．(-2a - b)(-b + 2a ) D ．(-2x + y)(-y + 2x )
20 ．下列各式从左到右是因式分解的是( )
A ．a2 + 3a - 2 = a (a + 3) - 2 B ．(a + b)(a - b) = a2 - b2
C ． D ．x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x +1)
三．计算（每题 5 分，共 20 分）
21 ．计算
22 ．计算
23 ．计算：(2m -1+ 3n)(1+ 2m - 3n)
24 ．计算
四．因式分解（每题 5 分，共 20 分）
25 ．因式分解：-2x3 +12x2y -18xy2
26 ．m4 -18m2 + 81
27 ．因式分解：(x - 2)(x - 4) +1．
28 ．因式分解：4 (x + 2y)2 - 25(x -y )2 ．
五．解答题（每题 6 分，共 12 分）
29 ．已知32x+2 . 4x+1 = 63x+1 ，求x 的值．
30 ．已知3x2 + 3x = 1 ，求 6x4 +15x3 +10x2 的值．
六．探究并填空（共 6 分）
31 ．阅读材料：
定义：如果一个数i 的平方等于-1，记为 i2 = -1，这个数 i 叫做虚数单位．它的加、减、乘 法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2 + i) + (3 - 4i) = 5 - 3i ；
(2 + i) - (3 - 4i) = -1+ 5i ；
(2 + i)(3 - 4i) = 6 - 8i + 3i - 4i2 = 10 - 5i ．
(1)填空：i3 = _____ ；i4 = _____．
(2)计算（需写出计算过程）：
① (2 + i)(2 - i)；
② (2 + i)2 ．
1 ．
【分析】此题考查了列代数式， 以及代数式的书写规范；根据题意先求倍数后求差，列出代 数式，将带分数写成假分数的形式即可求解．
【详解】解：用代数式表示减去y 的差”是
故答案为： ．
2 ． 6
【分析】要确定单项式的次数和系数，分别根据单项式次数（所有字母指数和）、系数（数 字因数）的定义来计算．本题主要考查单项式的次数与系数的定义，熟练掌握“单项式中所 有字母的指数和为次数，数字因数为系数”是解题的关键．
【详解】解： 单项式 的次数是2 + 3 +1 = 6 ，系数是 ，
故答案依次为 ．
3 ．-3y3 + xy2 - 2x2y - x4
【分析】本题考查的知识点是多项式的降幂排序，解题关键是熟知降幂排序的定义． 按字母y 降幂排列即按照字母y 次数从高到低进行排序，据此求解即可．
【详解】解：依题意得：将整式 -2x2y + xy2 - 3y3 - x4 按字母y 降幂排列为
-3y3 + xy2 - 2x2y - x4 ．
故答案为：-3y3 + xy2 - 2x2y - x4 ．
4 ．2
【分析】本题考查的知识点是合并同类项， 解题关键是熟练掌握合并同类项．根据同类项的 定义求出m 、n 的值后即可得解．
【详解】解：依题意得 是单项式，
则两个单项式是同类项，即两个单项式中含有相同字母，且字母对应的指数也相同， 即
ìm = 3
ln = -1
:í ,
:m + n = 3 -1 = 2 ．
故答案为：2 ．
5 ．
【分析】本题可利用平方差公式(a + b)(a - b) = a2 - b2 来进行简便计算，需要将100和99 进行适当变形，构造出平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式的实际应用，通过将 带分数变形构造出平方差公式的形式来进行简便运算．熟练掌握平方差公式的结构特征以及 带分数的变形方法是解题的关键．
解
故答案为 ．
6 ．x2 + y2 + z2 - 2xy - 2xz + 2yz
【分析】本题可将 (x -y - z )2 变形为 (x -y ) - z 2 ，然后利用完全平方公式
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 展开，其中a = x - y ，b = z ，再对展开后的式子去括号化简．本题主 要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 以及去括号法 则（括号前是“ - ”，把括号和它前面的“ - ”去掉后，原括号里各项的符号都要改变）是解题 的关键．
【详解】解：(x -y - z )2
= (x - y ) - z 2
= (x - y )2 - 2(x - y ) z + z2
= x2 - 2xy + y2 - 2xz + 2yz + z2 ，
故答案为：x2 + y2 + z2 - 2xy - 2xz + 2yz ．
7 ．(x - y )5
【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 首先统一底数，然后根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答．
【详解】解：(x -y )11 ÷ (y - x )6
= (x - y )11 ÷ (x - y )6
= (x - y )5 ．
故答案为：(x -y )5 ．
8 ．
【分析】本题考查的知识点是多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式的 运算法则．
根据多项式除以单项式运算法则即可得解． 解
故答案为
9 ．3mn(2n - 3mn2 -1)
【分析】先找出多项式各项的公因式，提取公因式后，再观察剩余多项式能否继续分解即 可．本题主要考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法以及准确找出 公因式是解题的关键．
【详解】解：6mn2 - 9m2n3 - 3mn
= 3mn(2n - 3mn2 -1)
故答案为：3mn(2n - 3mn2 -1)．
【分析】本题可利用平方差公式 m2 - n2 = (m + n)(m - n)对原式进行因式分解，需要先将原 式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练 掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键．
解
= (çè 1 + a2 ÷ ç1 + a ÷ ç1 - a ö,÷ ,
故答案为：(çè 1 + a2 ÷ ç1 + a ÷ ç1 - a ö,÷ .
11 ．-2
【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方进行计算即可， 熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：(-8)675 × 0.52024

= -2× 12024
= -2 ，
故答案为：-2 ．
12 ． ±12
【分析】本题考查了完全平方公式“ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ”，熟记完全平方公式是解题关 键．根据完全平方公式可得4x2 + mx + 9 = (2x ± 3)2 ，由此即可得．
【详解】解：由题意得：4x2 + mx + 9 = (2x ± 3)2 ， 即4x2 + mx + 9 = 4x2 ±12x + 9 ，
所以m = ±12 ，
故答案为： ±12 ．
13 ．-3
【分析】根据四次三项式的定义， 先确定次数对应的条件，再确定项数对应的条件，进而求 解m 的值．本题主要考查多项式的次数与项数的定义，熟练掌握“多项式的次数是次数最高 项的次数，项数是单项式的个数”是解题的关键．
【详解】解：: 4xmy +(m - 3)y - x 是关于x 、y 的四次三项式 : m +1 = 4 ，且 m - 3 ≠ 0
由 m +1 = 4 ，得m = 3 ，即 m = ±3 又m - 3 ≠ 0 ，即 m ≠ 3
: m = -3
故答案为：-3 ．
14 ．1
【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握多项 式乘多项式．
根据多项式乘多项式求出a 、b 的值后即可得解．
【详解】解：依题得：(x + a )(3 - 2x) = -2x2 + x + b ，
Q (x + a )(3 - 2x) = -2x2 + 3x - 2ax + 3a = -2x2 + (3 - 2a )x + 3a ，

: ab = 13 = 1．
故答案为：1．
15 ．-18
【分析】将给定的多项式进行配方， 转化为几个平方项相加等于0 的形式，再根据平方项的 非负性求出x 、y 的关系，进而求出xy 的值．本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方 数的非负性，熟练掌握完全平方公式(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ，并能根据其结构特征对多项式 进行配方，再结合平方数的非负性求解是解题的关键．
【详解】解：5x2 - 6x + 4xy + y2 + 9 = 0 ，
4x2 + 4xy + y2 + x2 - 6x + 9 = 0 ，
(2x + y)2 + (x - 3)2 = 0 ，
Q (2x + y)2 ≥ 0 ，(x - 3)2 ≥ 0 ，
:2x + y = 0 且x - 3 = 0 ， 解得x = 3 ，y = -6 ，
:xy = 3 × (-6) = -18 ． 故答案为：-18 ．
16 ．29
【分析】本题考查的知识点是平方差公式与图形面积、多项式乘多项式与图形面积， 解题关 键是从图中提取出正确信息．
设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，得出 求出a - b 后 可得a + b 、b ，即可求解．
【详解】解：设正方形 A 的边长为a ，正方形 B 的边长为b ， 依题得 ，
① - ② ×2 得a2 - b2 - 2ab + 2b2 = 21- 6 × 2 ， 即(a - b)2 = 9 ，
: a - b = 3 ，
: a = 5 ，
: a2 + b2 = 25 + 4 = 29 ．
即正方形A 、B 的面积之和是29 ． 故答案为：29 ．
17 ．C
【分析】本题考查的知识点是单项式、多项式、完全平方式的定义，根据单项式、多项式、 完全平方式的定义对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A 选项， 是三次单项式， A 选项错误；
B 选项是一次二项式，B 选项错误；
C 选项，0 是单项式，C 选项正确；
D 选项，a2 - 2a + 4 不能写成一个整式乘以它本身的形式，D 选项错误． 故选：C ．
18 ．D
【分析】本题考查合并同类项法则， 同底数幂乘法法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方法 则，熟练掌握运算法则是解题关键．
利用合并同类项法则可判断 A，根据同底数幂乘法法则判断 B，利用积的乘方运算法则可判 断 C，利用幂的乘方法则可判断 D 即可．
【详解】解：A ．: 3a + 4a = 7a ，原式不正确；
B ．m2 ·m3 = m5 ，原式不正确；
C ．: (3x3 )2 = 9x6 ，原式不正确；
D ．: (-x3 )5 = -x15 , (-x5 )3 = -x15 ，正确．
故选, ：D．
19 ．D
【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的特征是解题的关键．平方差公式为
(a + b)(a - b) = a2 - b2 ，需满足两括号中有一项相同，另一项互为相反数，根据这个特征一 一判断即可．
【详解】解：A 、(a - 2b)(a + 2b)，满足 a 相同，2b 与-2b 相反，可用平方差公式，结果为
a2 - (2b)2 ；
B、(2x + y)(y - 2x)可调整为(y + 2x )(y - 2x ) 满足y 相同，2x 与-2x 相反，可用平方差公式， 结果为y2 - (2x )2 ；
C、(-2a - b)(-b + 2a )可调整为- (2a + b)(2a - b) 满足2a 相同，b 与-b 相反，可用平方差公式， 结果为
D 、(-2x + y)(-y + 2x )可调整为- (y - 2x )(y - 2x )= - (y - 2x )2 ，两括号为同一二项式的相反 数，结果为完全平方的负数，无法用平方差公式．
故选：D．
20 ．D
【分析】本题考查因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解， 据此判断即可．
【详解】解：A. a2 + 3a - 2 = a (a + 3) - 2 ，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合 题意；
B. (a + b)(a - b) = a2 - b2 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
右边含分式，不是因式分解，不符合题意；
D. x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x +1) 是因式分解，符合题意；
故选：D．
21 ．
【分析】根据单项式乘单项式法则以及积的乘方法则分别计算式子中的两部分，再将结果相 减．本题主要考查了整式的混合运算，涉及单项式乘单项式、积的乘方运算．熟练掌握单项 式乘单项式法则（系数相乘，同底数幂相乘）以及积的乘方法则（先把积中的每一个因式分 别乘方，再把所得的幂相乘）是解题的关键．
解
22 ．
【分析】先根据积的乘方的逆运算变形，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可. 解:原式
【点睛】本题考查了平方差公式及完全平方公式，关键是灵活运用这些公式进行计算.
23 ．4m2 - 9n2 + 6n -1 ．
【分析】本题考查的知识点是平方差公式、完全平方公式、去括号， 解题关键是熟练掌握相 关计算．
根据平方差公式、完全平方公式、去括号进行运算即可． 【详解】解：(2m -1+ 3n)(1+ 2m - 3n) ，
= 2m - (1- 3n) 2m + (1- 3n) ， = (2m)2 - (1- 3n)2 ，
= 4m2 - (1- 6n + 9n2 )， = 4m2 - 9n2 + 6n -1．
【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、整式的四则混合运算， 解题关键是熟练掌握相 关计算法则．
根据完全平方公式、整式的四则混合运算法则即可得解． 【详解】解： (2x + y)2 - (2x + y)(x -y ) - 2x2 ÷ (-2y) ， = (4x2 + 4xy + y2 )- (2x2 + xy - 2xy - y2 )- 2x2 ÷ (-2y) ， = 4x2 - 2x2 - 2x2 + 4xy - xy + 2xy + y2 + y2 ÷ (-2y) ，
= (5xy + 2y2 ) ÷ (-2y) ，
25 ．-2x(x - 3y)2
【分析】先找出多项式各项的公因式， 通过提取公因式的方法将公因式提出，再对剩余的多 项式进行分析，若还能分解则继续分解，直到不能再分解为止．本题主要考查了提公因式法 与公式法（完全平方公式）的综合运用进行因式分解．熟练掌握提取公因式的方法以及完全 平方公式的形式，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：-2x3 +12x2y -18xy2
= -2x (x2 - 6xy + 9y2 )
= -2x(x - 3y)2 ．
26 ．(m + 3)2 (m - 3)2 ．
【分析】综合利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得． 【详解】原式 = (m2 )2 -18m2 + 92 ，
2
= (m + 3)2 (m - 3)2 ．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．
27 ．(x - 3)2
【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，然后利用完全平方公式进行因式分
解．本题主要考查了因式分解中完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘法法则和完全平方 公式的结构特征是解题的关键．
【详解】解：(x - 2)(x - 4) +1
= x2 - 4x - 2x + 8 +1
= x2 - 6x + 9
= (x - 3)2 ．
28 ．3 (7x - y )(3y - x))
【分析】本题可将4(x + 2y)2 与25(x -y)2 分别看作[2(x + 2y)]2 与[5(x -y )]2 ，这样就符合平 方差公式a2 - b2 = (a + b)(a - b) 的形式，然后对式子进行因式分解，最后再对分解后的式子 进行化简．本题主要考查了平方差公式以及整式的运算，熟练掌握平方差公式
a2 - b2 = (a + b)(a - b) ，并能准确识别式子中对应的a 与b ，以及整式的加减运算法则是解 题的关键．
【详解】解：4 (x + 2y)2 - 25(x -y )2
= 2 (x + 2y)2 - 5 (x - y )2
= 2 (x + 2y) + 5(x - y ) 2 (x + 2y) - 5(x - y )
= (2x + 4y + 5x - 5y)(2x + 4y - 5x + 5y)
= (7x - y )(9y - 3x)
= 3 (7x - y )(3y - x))．
29 ．1
【分析】将方程两边化为同底数的指数形式， 利用对数或指数运算性质简化方程，最终解出 x 的值．本题主要考查了指数运算性质和同底数幂相等的条件，熟练掌握指数运算法则和 方程变形是解题的关键．
【详解】解：32x+2 . 4x+1 = 63x+1
32x+2 . (22 )x+1 = (2 .3)3x+1
32x+2 . 22x+2 = 23x+1 .33x+1 (3. 2)2x+2 = (2 . 3)3x+1
62x+2 = 63x+1
: 2x + 2 = 3x +1 解得x = 1．
30 ．1
【分析】通过对所求代数式进行变形， 将已知条件3x2 + 3x = 1整体代入，逐步化简求值．本 题主要考查代数式的化简求值，熟练掌握通过变形将已知条件整体代入的方法是解题的关键． 【详解】解：: 3x2 + 3x = 1 ，
: 6x4 +15x3 +10x2
= 2x2 (3x2 + 3x ) + 9x3 +10x2
= 2x2 × 1+ 9x3 +10x2
= 9x3 +12x2
= 3x (3x2 + 3x ) + 3x2
= 3x ×1+ 3x2
= 3x2 + 3x
= 1 ．
31 ．(1)-i ，1．
(2) ① 5 ； ② 3 + 4i ．
【分析】本题主要考查虚数单位 i 的运算，以及整式乘法公式（平方差公式、完全平方公 式 ）在虚数运算中的应用 ．熟练掌握i2 = -1，并能灵活运用整式乘法公式进行虚数运算， 是解题的关键．
（1）利用 i2 = -1，通过对 i3 、i4 进行变形，结合乘方运算规则来计算．
（2）①把(2 + i)(2 - i) 类比整式乘法的平方差公式(a + b)(a - b) = a2 - b2 ，再代入 i2 = -1计 算．
②将(2 + i)2 类比整式乘法的完全平方公式(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 展开，然后代入i2 = -1化 简 ．
【详解】（1）解：: i2 = -1， : i3 = i2 . i = -1× i = -i ．
: i2 = -1，
: i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1 ．
故答案为：-i ，1．
（2）解：① (2 + i)(2 - i)
= 22 - i2
= 4 - (-1)
= 4 +1
= 5 ；
② (2 + i)2
= 22 + 2× 2 × i + i2
= 4 + 4i + (-1)
= 4 -1+ 4i
= 3 + 4i ．