湖北省宜昌市远安县第一高级中学2025届高三下学期模拟考试（一）数学试卷（含答案解析）

这是一份湖北省宜昌市远安县第一高级中学2025届高三下学期模拟考试（一）数学试卷（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ）
3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
4. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ）
6. 已知函数则的解集是（ ）
7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ）
8. 已知，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ）
10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ）
11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答）
13. 函数的最小值为________.
14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.
(1)求证：平面平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求.
17. 已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)过P作直线的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
18. 已知，函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)若存在零点.
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：.
19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.

(1)用表示出的外接圆半径；
(2)当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部；
(3)若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围.
湖北省宜昌市远安县第一高级中学2025届高三下学期模拟考试（一）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面向量、数列、平面解析几何、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
A．
B．
C．
D．
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．常数项为
D．展开式中系数最大项为第3项和第4项
A．
B．
C．内切圆半径的最大值为
D．外接圆半径的最小值为1
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
3
适中
8
较难
5
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
2
0.94
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算
3
0.65
数量积的运算律；求投影向量
4
0.65
充要条件的证明；判断等差数列；由定义判定等比数列
5
0.85
抛物线定义的理解；根据抛物线方程求焦点或准线
6
0.65
解分段函数不等式；根据函数的单调性解不等式；判断指数函数的单调性；由函数奇偶性解不等式
7
0.85
圆台表面积的有关计算
8
0.15
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数证明不等式；用和、差角的正弦公式化简、求值
二、多选题
9
0.65
求指定项的系数；求系数最大（小）的项；等差中项的应用；二项式的系数和
10
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题；椭圆定义及辨析
11
0.4
由递推数列研究数列的有关性质
三、填空题
12
0.85
实际问题中的组合计数问题；分步乘法计数原理及简单应用
13
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式
14
0.4
求空间两点的中点坐标；空间距离公式的应用
四、解答题
15
0.65
利用二项分布求分布列；利用全概率公式求概率；二项分布的均值；二项分布的方差
16
0.65
由线面角的大小求值；证明面面垂直
17
0.4
求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；双曲线中的直线过定点问题；根据双曲线过的点求标准方程；根据离心率求双曲线的标准方程
18
0.4
求已知函数的极值；利用导数研究函数的零点；利用导数证明不等式
19
0.4
三角函数定义的其他应用；二倍角的正弦公式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,4
2
函数与导数
1,6,8,18
3
复数
2
4
平面向量
3
5
数列
4,9,11
6
平面解析几何
5,10,17
7
空间向量与立体几何
7,14,16
8
三角函数与解三角形
8,13,19
9
计数原理与概率统计
9,12,15