湖北省宜昌市远安县第一高级中学2023-2024学年高二下册5月月考数学试卷【附解析】

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1. 曲线在处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程.
【详解】，所以，因此切线的斜率为，
又，由点斜式可得切线方程为，
故选：B
2. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度Y和色差X之间满足线性相关关系，且，当色差为31时，估计色度为（ ）
A. 25.8B. 24.8C. 24D. 23.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据线性回归直线过样本点求出，从而可求解.
【详解】由题意得，，，
将代入，即，解得，
所以，当时，.故A正确.
故选:A.
3. 二项式的展开式中，项的系数为（ ）
A. 448B. 900C. 1120D. 1792
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式定理求解即可
【详解】该二项展开式通项为
令，则，则项的系数为
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由二项式定理的应用，属于基础题.
4. 设随机变量，，则函数无零点的概率为（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
【详解】由函数无零点，所以，解得，
又由，所以.
故选：B.
5. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”， 分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案.
【详解】设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，
,
表示事件“抽到两名女同学”，则,
故.
故选：A.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得：在上恒成立，整理可得：在上恒成立直接求解即可.
【详解】由题意可得：
在上恒成立，
整理可得：，
函数在上递减，
所以，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考了恒成立问题，考查了转化思想，恒成立问题的一个重要方法是参变分离，属于基础题.
7. 已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为20%，30%，50%，且对应的次品率为1%，2%，3%，则该产品的次品率为（ ）
A. 2.3%B. 3.3%C. 1.3%D. 3%
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式直接计算可得结果.
【详解】设产品是次品为事件，该产品是哪家公司的产品分别为事件，，，
则.
故选：A
8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根或对应函数有零点的问题，依次求解判断各个选项.
【详解】对于A，令，即．
因为满足，所以在区间0,+∞上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B，令，即．
易判断在区间0,+∞上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C，由，得，
易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；
当时，单调递减，且；
当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．
所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；
对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，
即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．
故选：D.
【点睛】方法点睛：根据“不动点”函数的定义，转化为方程有解问题，可直接求方程的根，或者利用零点存在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数交点问题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A. 若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B. 若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C. 若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D. 若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB，先安排特殊的人甲或甲、乙、，再安排其它人即可；对于C，采用捆绑法，将甲和乙捆绑在一起，再和剩余3人放在一起排队，即可求得结果；对于D，采用插空法，先安排丙、丁、戊3个人，在形成的4个空中，再排甲乙，即可求得结果.
【详解】对于A：甲不能排在最后，则甲有种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有种排法，
所以排队方法有种，故A正确；
对于B：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有种排法；
则所有的排队方法有种，故B错误；
对于C：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队，
则共有种排队方法，故C正确；
对于D：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有种排队方法，
故共有种排队方法，故D错误.
故选：AC.
10. 下列选项中正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布，则
B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是
D. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次
【答案】BC
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式分别判断AB，由条件概率与对立事件关系判断C，由二项分布的性质判断D．
【详解】A选项，，，，A错误；
B选项，X服从超几何分布，，，B正确；
C选项，根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则
,，，故C正确；
D选项，设9次射击击中k次概率最大，
则，解得，所以同时最大，故或，D错误．
故选：BC．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C. 函数在上存在极值点
D. 若，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，直接求得单调区间即可；对于B C D，构造函数，研究函数的最值即可.
【详解】对于A，的定义域为，令，
则当时，；
当时，即f'x在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递增，故A正确；
对于B，由知在R上单调递增，由得，则当时，，令，则当时，h'x>0；当时，在上单调递增，
在上单调递减，，即的最小值为，故B正确；
对于的定义域为，令，
则当时，；当x∈2,+∞时，
即在0,2上单调递减，在上单调递增，
0,+∞上单调递增，无极值点，故C错误；
对于D，若，
则，
由知：fx,gx均为定义域上的增函数，，
由得，，令，则当时，；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：构造函数研究函数性质是解决导数问题的重要方法之一.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某班有40名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，若，则估计该班学生数学成绩不低于分的人数为____________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解.
【详解】由题意得数学成绩，
所以由，可得，
所以，
所以估计该班学生数学成绩不低于120分的人数为.
故答案为：.
13. 设，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法求得及，相减即可求得.
【详解】令得，所以，
令得，
所以，所以.
故答案为：
14. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则___ .
【答案】2059
【解析】
【分析】将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得答案．
【详解】将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示：
使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，
设位于第，则，所以，，
且第行最后一项在数列中的项数为，
所以，位于杨辉三角数阵的第行第个，
第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为，
因此，
，故答案为．
【点睛】本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论证能力与计算能力，属于难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）试讨论函数的单调性．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当，求出f'x，令得出方程的根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值；
（2）求出f'x，分两种情况讨论范围，在定义域范围内分别求解即可.
【小问1详解】
若，，定义域为0,+∞，
则，
令，可得，
由f'x>0，可得，所以在1,+∞上单调递增，
由f'x