山东省菏泽市单县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
3. 已知，则在上的投影向量为（ ）
4. 已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（ ）
5. 已知，，，，则（ ）
6. 已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（ ）
7. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
8. 已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下面说法正确的是（ ）
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
11. 已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为__________.（参考公式：，其中）
13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为__________________.
14. 定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有__________个.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知直线与圆相交于，两点，为圆上不同于，的一点．记的内角，，的对边分别为，，．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
16. 已知函数（）.
(1)若，求的极小值；
(2)当时，求的单调递增区间；
(3)当时，设的极大值为，求证：.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
19. 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；
(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.
山东省菏泽市单县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、数列、平面解析几何、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．.
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．45
B．50
C．55
D．60
A．
B．
C．
D．
A．的最小值为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最大值为
A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C．已知是随机变量，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
A．与的图象关于直线对称
B．与的图象关于点对称
C．当时，
D．当时，与的图象恰有4个交点
A．若，则平面平面
B．若，则与所成角的取值范围为
C．若，则平面
D．若，则线段长度的最小值为
是大绿书的用户
不是大绿书的用户
男性
女性
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
10
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；求对数函数的定义域
2
0.65
复数的除法运算；判断复数对应的点所在的象限；在各象限内点对应复数的特征
3
0.85
求投影向量
4
0.65
锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算
5
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值
6
0.85
写出等比数列的通项公式；利用an与sn关系求通项或项；由Sn求通项公式；由定义判定等比数列
7
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题；函数方程组法求解析式；简单复合函数的导数
8
0.4
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.65
等差数列的应用；相关系数的意义及辨析；方差的性质；方差的期望表示
10
0.65
函数对称性的应用；求图象变化前（后）的解析式；正弦函数图象的应用；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
11
0.4
证明线面平行；异面直线夹角的向量求法；证明面面垂直；空间向量模长的坐标表示
三、填空题
12
0.85
卡方的计算
13
0.85
椭圆定义及辨析；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；椭圆中三角形（四边形）的面积
14
0.15
计算几个数据的极差、方差、标准差；统计新定义；分步乘法计数原理及简单应用
四、解答题
15
0.65
三角形面积公式及其应用；由直线与圆的位置关系求参数；正弦定理解三角形；余弦定理解三角形
16
0.65
利用导数求函数的单调区间（不含参）；求已知函数的极值；利用导数研究不等式恒成立问题
17
0.65
证明面面垂直；面面角的向量求法
18
0.65
抛物线中的定值问题；直线与抛物线交点相关问题；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
19
0.4
互斥事件的概率加法公式；求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,7,10,16
3
复数
2
4
平面向量
3
5
空间向量与立体几何
4,11,17
6
三角函数与解三角形
5,10,15
7
数列
6,9
8
平面解析几何
8,13,15,18
9
计数原理与概率统计
9,12,14,19