山东省菏泽市单县第一中学2024−2025学年高一下学期第二次阶段性考试数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市单县第一中学2024−2025学年高一下学期第二次阶段性考试数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．
3．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．已知在四边形中，，，，则四边形为（ ）
A．梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形
5．已知是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，且，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，且，，则；④若，且，，则，其中真命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
6．已知复数和，满足，则（ ）
A．B．3C．D．1
7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（ ）

A．B．C．D．
8．在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
10．已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，，则外接圆半径为4
C．若，则为直角三角形
D．若，是钝角三角形
11．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．内切球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为 ．
13．已知复数，，在复平面内对应的点分别为、、，若是钝角，则实数的取值范围为 .
14．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）没有水的部分始终呈棱柱形
（2）水面所在四边形的面积为定值
（3）当容器倾斜如图②所示时，为定值
（4）当容器倾斜如图③所示时，为定值
其中所有正确命题的序号是
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面．
(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)求四棱锥的表面积．
16．如图，平面，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
17．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E在棱上，底面，．
(1)若，证明：；
(2)若点D到平面的距离为，求的长．
19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以.
故选D.
2．【答案】B
【详解】由题，，对应的点在第一象限，
则，可得，又为整数，所以．
故选B．
3．【答案】C
【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．
4．【答案】A
【详解】因为，，，
所以.
所以.
所以且，
所以四边形为梯形..
故选A.
5．【答案】B
【详解】①若，则或异面，故①不正确；②若，根据平面与平面平行的性质，可得，故②正确；③若，且，，则与可能相交，故③不正确；④若，且，，与相交则不正确；故选B.
6．【答案】C
【详解】因为复数和，满足，
则，
所以，所以.
故选C.
7．【答案】A
【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有，，,为弧上的点且，则，
，
.
故选A.
8．【答案】C
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选C.
9．【答案】AB
【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选AB．
10．【答案】BD
【详解】对于A，因为，，所以或.
当时，即，此时为等腰三角形；
当时，即，则，此时为直角三角形.
所以仅由不能得出一定为等腰三角形，选项错误.
对于B，已知，，则由正弦定理，
所以，即外接圆半径为，选项正确.
对于C，已知，由正弦定理可得.
因为，所以.
则，根据两角和的正弦公式展开可得：
，即.
因为、是三角形内角，所以，
所以，即，所以为等腰三角形，选项错误.
已知，由正弦定理可得，，.
将其代入可得.
所以.
因为，所以，即为钝角，所以是钝角三角形，选项正确.
故选BD.
11．【答案】AC
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则，即；，即；
又圆台的母线长，
所以圆台的高，A正确；
圆台的体积，B错误；
圆台的表面积，C正确；
因为，即圆台的母线长等于上下底面半径和，
所以圆台的高即为内切球的直径，
所以内切球的半径为，
所以内切球的表面积为，D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为．
13．【答案】
【解析】求出、、三点的坐标，由为钝角可得出且与不共线，由此可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由题意，可得，，.
因为是钝角，所以，且与不共线.
由，得.
由与不共线可得，解得.
故实数的取值范围为.
14．【答案】（1）（3）（4）
【详解】对于（1），由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，
且平面平面，故没有水的部分始终呈棱柱形（四棱柱或三棱柱、五棱柱），故（1）正确；
对于（2），由于固定，易知，且平面，所以平面，
又平面，所以,故为矩形，则，
的长随着倾斜度的变化而变化，故的面积是变化的，故（2）错误；
对于（3），当容器倾斜如图②所示时，四棱柱的体积保持不变，
即，又均为定值，故为定值，故（3）正确；
对于（4），当容器倾斜如图③所示时，三棱柱的体积保持不变，
即，又是定值，则为定值，故（4）正确．
15．【答案】(1)点为的中点，理由见解析；
(2)
【详解】（1）点为的中点．理由如下：如图，连接．设，
则点O为的中点，连接．∵ 平面，平面，
平面平面，∴ ．
在中，∵ O为的中点，∴为的中位线，
∴ 点为的中点．
（2）⊥底面，又底面是边长为1的正方形，
∴，因为底面，又平面，
则，即直角三角形，又，
则，
则，又，
则为直角三角形，则.
综上四棱锥的表面积为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）∵分别为的中点，
∴ ．
又∵，
∴．
又不在平面内，在平面内，
∴平面．
（2）连接.
为的中点，且.
平面平面，
∴，
∵，
∴，
∵，平面，
平面，
∵平面，
由（1）有，
又四边形为平行四边形，
∴，
∵，平面.
平面.
为和平面所成的角.
由得，
在Rt中，，
和平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)或
(2)，此时
【详解】（1）因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或.
（2）由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号.
所以.
设与夹角为，则此时.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）连接，交于点F，
因为底面，底面，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以．
（2）设，过E作于G，连接，
由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以，
所以，
由，得，
所以，
所以，
解得，
即.
19．【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．