2025届山东省菏泽市单县高三下学期第二次模拟考试数学试题（二模）含解析

这是一份2025届山东省菏泽市单县高三下学期第二次模拟考试数学试题（二模）含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．.D．
4．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（ ）
A．45B．50C．55D．60
7．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
二、多选题（本大题共3小题）
9．下面说法正确的是（ ）
A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C．已知是随机变量，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．与的图象关于直线对称
B．与的图象关于点对称
C．当时，
D．当时，与的图象恰有4个交点
11．已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则平面平面
B．若，则与所成角的取值范围为
C．若，则平面
D．若，则线段长度的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为 .（参考公式：，其中）
13．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 .
14．定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有 个.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线与圆相交于，两点，为圆上不同于，的一点．记的内角，，的对边分别为，，．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
16．已知函数（）.
(1)若，求的极小值；
(2)当时，求的单调递增区间；
(3)当时，设的极大值为，求证.
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；
(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，即，解得，
所以，则，
故选C.
2．【正确答案】D
【详解】设，
因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限，
所以，，
又，
所以，
所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选D.
3．【正确答案】D
【详解】因为，所以，
在上的投影向量为.
故选D.
4．【正确答案】D
【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如下图示，
所以，则，而棱台的高，
所以，
则该三棱台的体积为
.
故选D.

5．【正确答案】D
【详解】，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选
6．【正确答案】D
【详解】根据题意：，
两式作差可得，当时，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
所以，
故选D．
7．【正确答案】A
【详解】因为偶函数，则①，
对两边求导得，②，
在③中，用代替得④，
由①②④可得，⑤，
联立③⑤得，，
则化简为，，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，故，
则实数的取值范围是.
故选A.
8．【正确答案】D
【详解】因为，曲线的方程为，曲线的方程为，
易知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线是焦点在轴上的双曲线，
所以，，
所以随着的增大而增大，
因为，故当时，取最小值，无最大值，AB都错；
，
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
因为，当时，；当时，，且，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
综上所述，的最大值为，无最小值，C错D对.
故选D.
9．【正确答案】BC
【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错；
B：对于等差数列，
若正整数，则，
若正整数，则，
又等差数列的平均数为，
结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为，对；
C：由于一组数据的方差，且，则，对；
D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错.
故选BC.
10．【正确答案】ACD
【详解】由题得，，
A：与的图象关于直线对称的函数为
，故A正确；
B：当时，，
，所以与的图象不关于点对称，故B错误；
C：，
当时，，
令，则，在上恒小于0，
所以在上恒大于0，即，即，故C正确；
D：令，即，
得（无解）或，
解得，
又，所以，
解得（），所以，
即函数图象共有4个交点，故D正确.
故选ACD．
11．【正确答案】AC
【详解】A项，如图，取线段的中点Q，连接AQ、DE.
，，
若，则，
则三点共线，即点P在线段AQ（不包含点）上运动；
由分别是线段的中点，则与全等，
则，，
所以.
由平面，，
得平面，平面，所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正确；
B项，，
若，则，
则三点共线，即点P在线段AC（不包含点）上运动；
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，

由，
则
又，
所以，
，
因为，则，，
，因为与所成角锐角或直角，
故与所成角的取值范围为，故B错误；
C项， 如图，过作，交于，则为中点.
延长至，使，连接.
取的中点，连接，交于，则为中点，连接.

由，且，
得四边形为平行四边形，则，
由，则，则四点共面.
由，所以，
平面，平面，
则平面，同理，平面，
又平面，平面，，
故平面平面.
若，由，可得，
，，
则三点共线，即点P在线段MN（不包含点）上运动；
又平面，
故平面，故C正确；
D项，如图，连接.

若，由，可得，
，，
与C项同理可得，点P在线段NG上运动.
连接，同选项B建系，
则有，
则，
，所以，
则，
故当时，线段长度的最小值为，故D错误.
故选AC.
12．【正确答案】3
【详解】因为用大绿书APP的用户存在性别差异，
所以，
即，所以的最小值为3.
13．【正确答案】
【详解】由，可得，设，则，，，
由，则，即，解得，
所以，，
，即，解得，
所以椭圆的离心率.

14．【正确答案】151
【详解】法一：要求各位数字的极差不超过2的“稳定数”的数量，可以按照最小值进行分类讨论，并计算每个对应的三位数的数量.
①当时：允许的数字范围是，百位数不能为0，因此百位只能是1或2，总数为种，
减去不含0的情况（即所有数字都是1或2）的8种，得到10个符合条件的数；
②当到7时：允许的数字范围是，百位数可以是中的任何一个，总数为种，
减去不含的情况（即所有数字都是或）的8种，得到每个对应的19个数，故共有133个符合条件的数；
③当时：允许的数字范围是8，9，百位数可以是8或9，总数为种，
减去不含8的情况（即所有数字都是9）的1种，得到7个符合条件的数；
④当时：所有数字都是9，只有1个数999.
将各个的情况累加起来，总数为.
法二：位数的极差范围为0到9，根据定义，“稳定数”需满足极差，即.
①极差，所有数字相同，即形如，共9个（即）.
②极差，分两种情况：
最小值含0：数字范围为，且百位，此时十位和个位可为0或1，但需至少含一个0，共3个.
最小值：数字范围为，每位可选或，且至少含和各一次，
每位选择数有2种（或），扣除全或全的情况，
每个对应6个数，共8个，共个，小计：个.
③极差，分两种情况：
最小值含0：数字范围为，且百位，需至少含0和2各一次，
时，十位和个位需含0和2，共2个；
时，十位和个位需含0，共5个（），小计：个.
最小值：数字范围为，每位可选，且至少含和各一次，
由容斥原理有个，共7个，共个.小计：个.
三位“稳定数”总数为个.
15．【正确答案】(1)或；
(2)
【详解】（1）圆心到直线的距离，圆的半径，
所以，
又为外接圆上一点，所以，
解之得，因为，
所以或；
（2）由余弦定理得：，
即，即，
①当时，，
此时，
②当时，，
因为为最大边，所以，与矛盾，所以不成立，舍去，
综上所述，的面积为.
16．【正确答案】(1)
(2)和
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知.
若，则，所以.
令，得.
当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值等于.
（2）因为，所以，
由，即，解得或，
所以在和单调递增，
由，即，解得，
所以在单调递减，
故的单调增区间为和.
（3）当时，由（2）知，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值等于，
令，所以，
在上在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以故，
综上所述，.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为底面为矩形，，所以，
设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为，
所以，所以，
又侧面是等边三角形，且，
取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）取的中点，连接，则，
故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为.
（2）
由题意可设直线的方程为，，，则，，.
所以，得，
所以，.
所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，
解得，同理.
所以.所以.
所以直线的斜率为.
（3）设，
因为.
因为，.
所以，
当时，为定值.所以.
19．【正确答案】(1)；
(2)7.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
（2）令，若前位玩家都没有通过第一关测试，
其概率为，
若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试，
则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试，
但没有通过第二关测试，其概率为，
第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为，
所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
，
因此第位成员闯过第二关的概率，
由，得，解得，则，所以.是大绿书的用户
不是大绿书的用户
男性
女性
1
2
3