天津市部分区2025届高三下学期质量调查(二)数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ）
3. 已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
4. 已知函数，则此函数是（ ）
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
6. 若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
7. 化简（ ）
8. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ）
9. 如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②三棱锥的体积为定值；③存在一点，使；④若，则面积的最大值为，其中正确结论的个数为（ ）
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分)
10. 是虚数单位，复数______________.
11. 在的展开式中，的系数为______________.（用数字作答）
12. 以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则____________.
13. 将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则_____________；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则_______________.
14. 在中，已知，且，则_______________；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为______________.
15. 若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为________________.
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分)
16. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，.
(1)求的大小；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
18. 已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围.
19. 从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列.
(1)求，的值；
(2)求；
(3)证明：.
20. 已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值；
(2)当时，（，为的导函数），求的取值范围；
(3)设函数，若，证明：.
天津市部分区2025届高三下学期质量调查(二)数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、数列、函数与导数、平面解析几何、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、复数、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．
B．
C．
D．
A．正相关，相关系数的值为0.8
B．负相关，相关系数的值为0.8
C．正相关，相关系数的值为
D．负相关，相关系数的值为
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．偶函数，且在区间上单调递减
B．偶函数，且在区间上单调递增
C．奇函数，且在区间上单调递减
D．奇函数，且在区间上单调递增
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．的最小正周期是
B．是的一条对称轴
C．在区间上单调递减
D．当时，的取值范围为
A．1
B．2
C．3
D．4
题型
数量
单选题
9
填空题
6
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
11
适中
4
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.94
判断正、负相关；相关系数的意义及辨析
3
0.85
判断命题的必要不充分条件；判断数列的增减性
4
0.85
函数奇偶性的定义与判断；判断一般幂函数的单调性；根据解析式直接判断函数的单调性
5
0.85
比较指数幂的大小；比较对数式的大小
6
0.85
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
7
0.85
指数幂的化简、求值；对数的运算；比较正弦值的大小；比较余弦值的大小
8
0.85
求图象变化前（后）的解析式；结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期
9
0.65
锥体体积的有关计算；证明线面垂直
二、填空题
10
0.94
复数代数形式的乘法运算
11
0.85
求指定项的系数
12
0.85
圆的弦长与中点弦；根据抛物线方程求焦点或准线；求点到直线的距离；由圆心（或半径）求圆的方程
13
0.85
计算条件概率；二项分布的均值；计算古典概型问题的概率
14
0.65
平面向量的混合运算；数量积的坐标表示；数量积的运算律
15
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究函数的零点
三、解答题
16
0.85
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值
17
0.65
证明线面平行；面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法
18
0.85
根据a、b、c求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数；数量积的坐标表示
19
0.4
累乘法求数列通项；数列新定义；由递推关系式求通项公式；裂项相消法求和
20
0.4
利用导数求函数的单调区间（不含参）；函数单调性、极值与最值的综合应用；由导数求函数的最值（含参）
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3
2
计数原理与概率统计
2,11,13
3
数列
3,19
4
函数与导数
4,5,7,15,20
5
平面解析几何
6,12,18
6
三角函数与解三角形
7,8,16
7
空间向量与立体几何
9,17
8
复数
10
9
平面向量
14,18