2021届天津市高三下学期数学质量调查试卷（二）及答案

 高三下学期数学质量调查试卷〔二〕

一、单项选择题

1.集合 ， ，那么 〔    〕           

A.                  B.                  C.                  D. 

2. ，那么“ 〞是“ 〞成立的〔  〕           

A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 即不充分也不必要条件

3.函数 的图象大致为〔    〕           

A.                                     B. 
C.                                    D. 

4.在?九章算术?中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．四棱锥 为阳马，侧棱 底面 ，且 ， ， ．假设该四棱锥的顶在都在同一球面上，那么该球的外表积为〔    〕           

A. 14π                                     B. 20π                                     C. 25π                                     D. 28π

5.某工厂对一批新研发产品的长度〔单位：mm〕进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图加图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是〔    〕 

6. ， ， ，那么a  ， b  ， c的大小关系是〔    〕           

A.                            B.                            C.                            D. 

7.设 为双曲线 的右焦点，圆 与E的两条渐近线分别相交于A  ， B两点，O为坐标原点，假设四边形OAFB是边长为4的菱形，那么E的方程为〔    〕           

A.                     B.                     C.                     D. 

8.下面四个命题，其中所有真命题的编号为〔    〕 

①函数 的最小正周期是 ；②终边在 轴上的角的集合是 ；③把函数 的图象上所有点向右平行移动 个单位长度后，得到函数 的图象；④函数 在区间 上单调递减．

A. ②③                                     B. ②④                                     C. ①③                                     D. ①④

9.定义在 上的偶函数 ，当 时， 假设函数 恰有六个零点，且分别记为 ，那么 的取值范围是〔    〕           

A.                         B.                         C.                         D. 

二、填空题

10.i是虚数单位，那么 ________．   

11.的展开式中的常数项为________〔用数字作答〕．   

12.过点 的直线l与直线 垂直，l与圆 相交于A  ， B两点，那么 ________．   

13.某学校团委在2021年春节前夕举办教师“学习强国〞知识答题赛，其中高一年级的甲、乙两名教师组队参加答题赛，比赛共分两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题．甲答对每个题的概率为 ，乙答对每个题的概率为 ．假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，那么比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为________．   

14. ， ，且 ，那么 的最大值为________．   

15.如图，在四边形ABCD中， ， ，向量 ， 的夹角为 ．假设E  ， F分别是边AD的三等分点和中点， ， 分别是边 的三等分点和中点，那么 ________， ________． 

三、解答题

16.如图，在平面四边形 中， ， ， ， ， ．

〔1〕求边CD的长；   

〔2〕设 ，求 的值．   

17.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，侧棱 ， 是 的中点． 

〔1〕求证： ；   

〔2〕求直线 与 所成角的余弦值；   

〔3〕求二面角 的正弦值．   

18.设 是公差不为0的等差数列， ， 是 和 的等比中项，数列 的前n项和为 ，且满足 ．   

〔1〕求 和 的通项公式；   

〔2〕对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．   

19.设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ． 的离心率为 ，过焦点 的直线l交C于A  ， B两点，当焦点 到直线l的距离最大时，恰有 ．   

〔1〕求C的方程；   

〔2〕过点 且斜率为 的直线交C于E  ， F两点，E在第一象限，点P在C上．假设线段EF的中点为M  ， 线段EM的中点为N  ， 求 的取值范围．   

20.函数 ， ，其中 ．   

〔1〕求曲线 在点 处的切线方程；   

〔2〕求 的最小值；   

〔3〕记 为 的导函数，设函数 的图象与 轴有且仅有一个公共点，求 的取值范围．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由 ， ，

∴ 。

故答案为：D.

 
【分析】利用条件结合并集的运算法那么，进而求出集合M和集合N的并集。

2.【解析】【解答】当 时， 和 无意义，可知“ 〞是“ 〞的不充分条件；

当 时， ，可知“ 〞是“ 〞的必要条件；

综上所述：“ 〞是“ 〞的必要不充分条件

此题正确选项：

【分析】分别判断充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.

3.【解析】【解答】因为 ，

当 时， ，AD排除；

当 时， ，B排除；

故答案为：C.

 
【分析】利用特殊点法结合排除法，进而找出函数的大致图象。

4.【解析】【解答】将四棱锥 补成长方体，那么体对角线为球直径，

设外接球的半径为 ，那么

，

所以该球的外表积为 。

故答案为：A

 
【分析】将四棱锥 补成长方体，那么体对角线为球直径，设外接球的半径为 ，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出球的半径，再利用球的外表积公式，进而求出球的外表积。

5.【解析】【解答】根据频率分布直方图中的数据，可得前两个矩形的面积为 ，其中 ，所以数据的中位数位于 之间，

设中位数为 ，可得 ，解得 ，

所以这批产品中的中位数为 。

故答案为：B.

 
【分析】利用条件结合频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出这批产品长度的中位数。

6.【解析】【解答】 ，

∴ 。

故答案为：A.

 
【分析】利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数的大小关系比较，进而比较出a,b,c的大小。

7.【解析】【解答】由四边形OAFB是边长为4的菱形知： 且三角形△ 、三角形△ 均为等边三角形，而渐近线方程为 ，

∴ ，又 ，

∴ ， ，故双曲线E的标准方程为 。

故答案为：D.

 
【分析】由四边形OAFB是边长为4的菱形知： 且三角形△ 、三角形△ 均为等边三角形，而渐近线方程为 ，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，得出a,b的一个方程，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合条件，进而求出a,b的另一个方程，再联立a,b的方程求出a,b的值，从而求出双曲线的标准方程。

8.【解析】【解答】① ，其最小正周期为 ，错误；

②终边在 轴上的角的集合是 ，正确；

③根据平移描述知： ，正确；

④由函数解析式知： ，即 ，故 不是 的一个子集，错误.

∴②③正确.

故答案为：A

 
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式，进而求出余弦型函数的最小正周期，再利用终边在 轴上的角的表示方法，进而表示出终边在 轴上的角的集合，再利用正弦型函数的图象变换，由函数 的图象得出函数 的图象，再利用正弦型函数的图像判断出函数 在区间 上的单调性，从而选出真命题的序号。

9.【解析】【解答】根据题目条件，作出函数 在 上的图像，如下列图：

设 的六个零点，自左到右为 ，那么 ，

由对称性知： ，又因为 ，

那么 ，

故 ，

易知 ，那么 ， 所以 的取值范围为。

故答案为：C

 
【分析】根据题目条件，作出函数 在 上的图像，设 的六个零点，自左到右为 ，那么 ，由对称性结合， 再结合对数的运算法那么得出， 故 ，易知 ，从而求出 的取值范围 。

二、填空题

10.【解析】【解答】由，有 。

故答案为： 。

 
【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。

11.【解析】【解答】由二项式知： ，

∴当 时为常数项，即 。

故答案为：15。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中的常数项 。

12.【解析】【解答】因为过点 的直线l与直线 垂直，所以直线l的斜率为 ，所以直线l的方程为： ，

把圆的方程化为标准方程得： ，

∴圆心坐标为 ，半径 ，

∴圆心到直线 的距离 ，

那么 。

故答案为： 。

 
【分析】利用条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出过点 的直线l的斜率，再利用点斜式求出直线l的方程，再利用直线与圆相交，联立二者方程结合韦达定理，再利用弦长公式，进而求出两交点A,B的距离。

13.【解析】【解答】由题意知：甲、乙两人共答对三个题的根本领件有{甲答对2个乙答对1个，甲答对1个乙答对2个}，而甲答对每个题的概率为 ，乙答对每个题的概率为 ，

∴甲答对2个乙答对1个的概率为 ，

甲答对1个乙答对2个的概率为 ，

∴甲、乙两人共答对三个题的概率为 。

故答案为： 。

 
【分析】利用二项分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式，进而结合互斥加法求概率公式，进而求出甲、乙两人共答对三个题的概率。

14.【解析】【解答】因为 ， ，且 ，所以 ，解得 ，当且仅当 ，即 时，取等号，

所以 的最大值为2。

故答案为：2。

 
【分析】利用条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出ab的最大值。

15.【解析】【解答】由 ，那么 ；

由 ，

所以
故答案为： ，6。

 
【分析】利用条件结合三角形法那么和共线定理，从而结合三等分点的性质和中点的性质，进而结合平面向量根本定理得出， 再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的定义，进而求出向量的模，即， 再结合三角形法那么和共线定理，再利用平面向量根本定理，从而得出， 再结合数量积的运算法那么结合数量积的定义，进而求出数量积的值，即。

三、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕 在 中， ， ， ，利用余弦定理求出CD的长。
〔2〕 在 中， ， ， ， ，利用正弦定理求出角的正弦值，从而结合同角三角函数根本关系式求出角的余弦值，再利用两角差的正弦公式，进而求出 的值。

17.【解析】【分析】〔1〕 依题意，以点C为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而结合数量积的坐标表示，从而证出两向量垂直，从而证出 。
〔2〕 由〔1〕，得 ， ， 再利用数量积的定义结合条件得出 ， ， 再结合数量积求向量夹角公式，进而求出所求直线 与 所成角的余弦值。
〔3〕 依题意及〔1〕，得 ，设平面 的法向量为 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出法向量的坐标，即， 由〔1〕及题意知， 平面 ，所以平面 的法向量是 ， 所以 ， ， ，再利用数量积求向量夹角公式，得出的值， 设二面角 的平面角为 ，由于 ， 再利用同角三角函数根本关系式，进而求出角 的正弦值，从而求出二面角 的正弦值。

18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，进而求出等差数列的公差，从而结合等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，利用条件结合与的关系式，再结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕 对任意的正整数 ，设 从而结合〔1〕中数列 和 的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再结合分组求和法和等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 2n+1 项和。

19.【解析】【分析】〔1〕 设椭圆C的半焦距为c，当焦点 到直线l的距离取最大值时有 轴，此时 ①，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆中a,b,c三者的关系式，进而得出 ②，联立 ①、②，得出a,b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕利用点斜式求出过点 且斜率为 的直线方程，再利用直线交椭圆C于E  ， F两点，E在第一象限，点P在椭圆C上，联立直线与椭圆的方程求出点E,F的坐标，再利用中点坐标公式求出点M,N的坐标，再结合向量的坐标表示结合数量积的坐标表示，得出数量积为二次函数，再利用二次函数的图像求最值的方法，进而求出数量积 的取值范围 。

20.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
〔2〕利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值。
〔3〕利用导数的运算法那么求出导函数，再利用函数 ， 从而求出函数h(x)的解析式， 因为 且曲线 与 轴有且仅有一个公共点， 再利用两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，进而得出函数 有且仅有1个零点，且这个零点为1， 再利用导数的运算法那么求出函数h(x)的导函数，即 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再利用函数求极限的方法结合零点存在性定理，进而求出实数a的取值范围。