天津市部分区2021届高三下学期质量调查（一）数学试题（word版 含答案）

天津市部分区2021届高三下学期质量调查（一）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

3．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

4．直线与圆相交于，两点，则（    ）

A． B． C． D．

5．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试(满分100分)，考试成绩的频率分布直方图如图，数据(成绩)的分组依次为，，，，若成绩低于60分的人数是180，则考试成绩在区间内的人数是（    ）

A．180 B．240 C．280 D．320

6．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A． B．6 C． D．2

7．关于函数有下述三个结论：

①的最小正周期是；

②在区间上单调递减；

③将图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到函数的图象.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．② B．③ C．②③ D．①②③

8．已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，若存在实数，，，当时，满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．是虚数单位，复数___________.

11．在的展开式中，的系数是___________.(用数字作答).

12．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为，则这个正方体的体积为___________.

13．设，，且，则的最小值为___________.

三、双空题

14．甲､乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲､乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6.若甲､乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为___________；若甲､乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是___________.

15．如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________.

四、解答题

16．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若角为钝角，且，，求和的值.

17．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.

（1）求和的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求.

18．如图，在多面体中，平面，是平行四边形，且，，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

19．已知椭圆的短半轴长为1，离心率为.

（1）求的方程；

（2）设的上､下顶点分别为､，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值.

20．已知函数，，.

（1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（2）讨论的单调性；

（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，证明：.

参考答案

1．A

【分析】

根据复数的交集、并集运算的概念可得结果.

【详解】

，.

故选：A

2．A

【分析】

根据集合是集合的真子集可得答案.

【详解】

因为集合是集合的真子集，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

3．C

【分析】

找中间量和比较可得答案.

【详解】

,

,

,

所以.

故选：C

4．D

【分析】

根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，解之即可.

【详解】

圆心到直线的距离

半径为

故

故选：D

【点睛】

圆的弦长的常用求法：

（1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；

（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：

5．B

【分析】

根据成绩低于60分的人数是180，求出高二年级学生人数，进一步可求出考试成绩在区间内的人数.

【详解】

成绩低于60分的频率为

所以高二年级学生人数为人，

考试成绩在区间内的频率为，

所以考试成绩在区间内的人数为人.

故选：B

6．A

【分析】

根据奇函数的性质以及时的函数解析式可求得结果.

【详解】

因为函数为定义在上的奇函数，

所以.

故选：A

7．C

【分析】

根据三角函数的周期公式求出最小正周期可知①正确；根据正弦函数的单调性可知②正确；根据图象变换规律可知③正确.

【详解】

由可得函数的最小正周期为，故①不正确；

当时，，所以在区间上单调递减，故②正确；

将图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到的图象，即，故③正确.

故选：C

8．D

【分析】

根据四边形为矩形以及双曲线的渐近线关于轴对称，可得，利用抛物线方程求出，再根据可求得，从而可得结果.

【详解】

因为四边形为矩形，所以，即双曲线的两条渐近线垂直，

根据双曲线的渐近线关于轴对称，可得，

所以，即，

又抛物线的焦点，所以双曲线中，

所以由可得，所以，

所以双曲线的方程为.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：根据四边形为矩形以及双曲线的渐近线关于轴对称，得到是解题关键.

9．B

【分析】

作出函数的图象，根据图象可知，，再将表示为关于的函数，利用导数可求得结果.

【详解】

，

作出函数的图象，如图：

由图可知，，

所以，

令，则，

因为，所以，所以在上为单调递减函数，

所以，即，

所以的取值范围是.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：求解关键有2个：①利用函数的图象得到，，②将表示为关于的函数，利用导数求解.

10．

【分析】

根据复数的除法运算法则计算可得结果.

【详解】

.

故答案为：.

11．

【分析】

根据二项展开式的通项公式可求得结果.

【详解】

的展开式的通项公式为，，

令，解得，

所以在的展开式中，的系数是.

故答案为：

12．

【分析】

根据球的面积求出球的半径，根据正方体的对角线是球的直径可求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式可求得结果.

【详解】

设球的半径为，因为球的表面积为，所以，所以球的半径，

因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为，

设正方体的棱长为，则，所以.

所以正方体的体积为.

故答案为：

13．

【分析】

由得到，再将化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.

【详解】

因为，所以，

所以，当且仅当，时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

14．       

【分析】

根据独立事件的乘法公式可求得结果.

【详解】

甲､乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；

甲､乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次分两类：

①甲命中2次，乙命中1次，此时概率为；

②甲命中1次，乙命中0次，此时概率为，

所以甲､乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是.

故答案为：；

15．4       

【分析】

根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.

【详解】

因为，，所以为正三角形，所以，，

因为，所以，

因为，所以，所以.

因为是线段上的一个动点，所以可设，

所以

，

因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值，

所以的取值范围是.

故答案为：4；

【点睛】

关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关键.

16．（1）或（2），

【分析】

（1）根据正弦定理边化角可得，再根据可求得结果；

（2）根据余弦定理求出，，，根据同角公式求出，再根据二倍角的正弦公式可求得结果.

【详解】

（1）由以及正弦定理得，

因为，所以，所以，

因为，所以或.

（2）因为角为钝角，所以，

由余弦定理得，

所以，

所以，所以，，

所以，

所以，

所以.

综上所述：，.

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握正弦定理、余弦定理是本题解题关键.

17．（1），；（2）.

【分析】

（1）求出的公差和的公比后可得和的通项公式.

（2）利用错位相减法可求.

【详解】

（1）设的公差为，的公比为，

则，解得或（舍），故.

又，故，故.

（2），

故，

所以，

所以

，

故.

【点睛】

方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

18．（1）见解析；（2）；（3）.

【分析】

建立如图所示的空间直角坐标系，

（1）求出的坐标后计算它们的数量积为零，从而可证明.

（2）求出平面的法向量后求出两个平面的法向量的夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值.

（3）设，求出的坐标后求出与平面的法向量的夹角的余弦值后结合已知的线面角的正弦值可得关于的方程，求出的值后可得的长.

【详解】

因为平面，平面，故，同理，

而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

其中，，，，，，

（1），故，

故.

（2），.

平面的法向量为，而，

设平面的法向量为，

由可得，取，则，

故，

故.

因为二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.

（3）设，故，

故，解得.

故.

【点睛】

方法点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

19．（1）（2）

【分析】

（1）根据短半轴长和离心率求出，可得椭圆的方程；

（2）设，求出点的坐标，利用斜率公式求出和，再相乘可得结果.

【详解】

（1）依题意可知，，所以，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）依题意可知，，

设，则，直线：，令，得，即，

，，

所以.

20．（1）（2）当时，在上为增函数；当时，在上递减，在上递增（3）证明见解析

【分析】

（1）利用导数的几何意义可得结果；

（2）求导后，分类讨论，利用导数的符号可得结果；

（3）不妨设，由求出，将不等式化为，令，转化为证明，然后构造函数，利用导数知识可证不等式成立.

【详解】

（1）因为，所以，

依题意可得，得.

（2），

当时，在上恒成立，所以在上为增函数；

当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增.

综上所述：当时，在上为增函数；

当时，在上递减，在上递增.

（3）因为关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，

所以，即在区间上有两个不相等的实数根，，不妨设，

所以，

所以，

所以，

要证，即证，

因为，所以，所以，

所以只需证，

即要证，

令，因为，所以，

所以只需证，

令，

则，

所以在上单调递增，所以，即，

所以.

【点睛】

关键点点睛：第（3）问中，求出是第一个关键点，将所证不等式转化为是第二个关键点.