辽宁省抚顺市四方高级中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知且，则（ ）
3. 已知z是方程的一个复数根，则（ ）
4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
5. 已知，若，则（ ）
6. 已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
7. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
11. 如图，平面四边形是由正方形和直角三角形组成的直角梯形，，，现将沿斜边翻折成（不在平面内），若为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______．
13. 已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为______．
14. 已知表示不超过的最大整数，记，设，且，当时，所有满足条件的n的和等于________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．
(1)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；
(2)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．
16. 如图，四边形是圆所有内接四边形中面积最大的四边形，为平面外一点，且，，是的中点.

(1)证明平面；
(2)求二面角的余弦值.
17. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为．
(1)求的方程；
(2)若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 已知，函数．
(1)若，，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求的单调区间；
(3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围．
19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.
(1)当时，称为调和点列，若，求的值；
(2)①证明：；
②已知，点为线段的中点，，，求，.
辽宁省抚顺市四方高级中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、复数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面解析几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．，
C．
D．，
A．
B．
C．
D．
A．-e
B．-1
C．
D．
A．若一组数据的方差为，则所有数据都相同
B．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
C．已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
A．
B．当时，
C．可以为
D．周长的最小值是11
A．与不可能垂直
B．三棱锥体积的最大值为
C．若都在同一球面上，则该球的表面积是
D．直线与所成角的取值范围为（）
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
8
适中
6
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
指数幂的化简、求值；对数的运算性质的应用
3
0.85
求复数的模；复数范围内方程的根；共轭复数的概念及计算
4
0.85
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断
5
0.94
已知正（余）弦求余（正）弦；用和、差角的余弦公式化简、求值
6
0.65
根据分段函数的单调性求参数；由指数（型）的单调性求参数
7
0.65
均值的性质；方差的性质；二项分布的均值；二项分布的方差
8
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题
二、多选题
9
0.85
独立性检验的概念及辨析；总体百分位数的估计；残差的计算
10
0.65
抛物线上的点到定点的距离及最值；利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题；抛物线的应用
11
0.4
锥体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；求异面直线所成的角；线面垂直证明线线垂直
三、填空题
12
0.85
圆锥表面积的有关计算；球的表面积的有关计算
13
0.85
直线过定点问题；定点到圆上点的最值（范围）
14
0.4
函数新定义；求等差数列前n项和
四、解答题
15
0.85
计算古典概型问题的概率；求离散型随机变量的均值；利用对立事件的概率公式求概率；写出简单离散型随机变量分布列
16
0.65
证明线面平行；求二面角；证明线面垂直
17
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中的定值问题
18
0.4
利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数研究函数的零点；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
19
0.4
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；几何图形中的计算
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
函数与导数
2,6,8,14,18
4
复数
3
5
空间向量与立体几何
4,11,12,16
6
三角函数与解三角形
5,19
7
计数原理与概率统计
7,9,15
8
平面解析几何
10,13,17
9
数列
14