2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x(单位：℃)的数据如表：
由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为y =1.8x+0.6，则m=( )
A. 13B. 14C. 15D. 12
2.双曲线4x2−y2=4的离心率为( )
A. 3B. 2C. 52D. 5
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a5+3a6+2a9=49，则S11=( )
A. 44B. 33C. 66D. 77
4.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A. 20种B. 16种C. 12种D. 8种
5.已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+8x−6y+9=0，则圆C1与圆C2的位置关系为( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断
6.已知函数f(x)=2x2,x≤0e2x,x>0，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则x1+x2的最大值为( )
A. ln22−1B. 2ln2−2C. −12D. −1
7.已知函数f(x)=lnx+1，g(x)=x−aexx(a∈R).若f(x)≥g(x)在[1,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1e2]B. [1e2,+∞)C. (0,e]D. [e,+∞)
8.为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据(单位：只)：
从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势R1=P(A)1−P(A)，在B发生的条件下A的优势R2=P(A|B)1−P(A|B)，则( )
A. R2R1可化简为P(B|A)P(B|A−)，估计其值为38B. R2R1可化简为P(A|B)P(A|B−)，估计其值为38
C. R2R1可化简为P(AB)P(A−B)，估计其值为13D. R2R1可化简为P(AB)P(AB−)，估计其值为13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组样本数据的方差s2=120[(x1−3)2+(x2−3)2+⋯+(x20−3)2]，则这组样本数据总和为60
B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大
D. 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的标准差为16
10.已知函数f(x)=13x3+x2+(2a−1)x，则( )
A. 若a=−1，则函数f(x)的极小值点是−53
B. 函数f(x)的图象关于点(−1,−2a+53)中心对称
C. 若过点(1,0)有三条直线与曲线y=f(x)相切，则实数a的取值范围为(−16,76)
D. 若函数f(x)在(1,3)上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为(−7,−1)
11.关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是( )
A. 若等比数列{an}的前n项和Sn=2n+m，则实数m=1
B. 若数列{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3⋯a8=81
C. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n，⋯成等差数列
D. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，公差d=−2，则Sn的最大值为30
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项等比数列{an}，3a14a16−a9a21=2e4，则lna1+lna2+…+lna29= ______．
13.某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立.若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则P(X=3)= ______.(用数字作答)
14.若对任意x∈(1,+∞)，x+ex−1>alnx+xa+1，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式(5x−1 x)n(n∈N∗)的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．
(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,{Snn}是首项和公差均为1的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1(n∈N∗)，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2lnx−ax2+(1−4a)x，(a≠0)．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有最大值，求证：f(x)≤54a−4．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的 2倍，点E(2,2)在椭圆上，直线l与圆x2+y2=4相切，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①求证：OA⊥OB；
②求△AOB面积的取值范围．
19.(本小题17分)
已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为34，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为13，23，25，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响．
(1)求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率；
(2)设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列；
(3)已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知，x−=5+7+8+9+115=8，y−=9+m+15+17+205=61+m5，
因为经验回归方程y =1.8x+0.6过样本中心点(x−,y−)，
所以61+m5=1.8×8+0.6，
解得m=14．
故选：B．
利用经验回归方程y =1.8x+0.6过样本中心点(x−,y−)求解．
本题主要考查了经验回归方程的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：双曲线4x2−y2=4的标准方程为：x2−y24=1，可得a=1，b=2，c= 5，
所以双曲线的离心率为：e=ca= 5．
故选：D．
化简双曲线方程为标准方程，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：等差数列{an}中，若a1+a5+3a6+2a9=7a1+35d=49，
则a1+5d=a6=7，
则S11=11(a1+a11)2=11a6=77．
故选：D．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22=8种方法；
②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22=8种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法．
故选：B．
分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果．
本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：圆C1：x2+y2=4的圆心C1(0,0)半径r1=2，
圆C2：x2+y2+8x−6y+9=0，即(x+4)2+(y−3)2=16，圆心C2(−4,3)，半径r2=4，
两圆心距离d= 42+32=5，
因为|r1−r2|1)的两根分别为x1，x2，其中x10，
从而有ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；
当x∈(x0,+∞)时，φ(x)0，x∈(1,+∞)，
则(∗)成立，等价于g(x−1)>g(lnxa)在x∈(1,+∞)上恒成立，
即x−1>lnxa=alnx在x∈(1,+∞)上恒成立，
即x−alnx−1>0在x∈(1,+∞)上恒成立，(∗∗)
令ℎ(x)=x−alnx−1，x∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−ax，
若00，此时ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以ℎ(x)min>ℎ(1)=0，故(∗∗)成立，即(∗)成立；
若a>1时，令ℎ′(x)=1−ax=0，解得x=a，
当x∈(1,a)时，ℎ′(x)0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)min=ℎ(a)=a−alna−1，
又ℎ′(a)=−lna0在x∈(1,+∞)上恒成立问题，进而分析即可得出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】n=4，150x；
有理项有3项，分别为625x4，150x，x−2．
【解析】(1)二项式系数和为2n，
令x=1，则展开式中各项系数之和为(5−1)n=4n，
二项式(5x−1 x)n(n∈N∗)的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240，
则4n−2n=240，解得n=4，
展开式有5项，二项式系数最大的为第3项为T3=C42(5x)2(−1 x)2=150x；
(2)二项式(5x−1 x)4的展开式的通项公式为Tr+1=C4r(5x)4−r(−1 x)r=C4r⋅54−r(−1)rx4−3r2，
令4−3r2∈Z，且r=0，1，2，3，4，解得r=0，2，4，
则展开式中含x的有理项有3项，分别为625x4，150x，x−2．
(1)利用赋值法可得各项系数和，结合题意列式计算可得n，由二项式系数性质可得二项式系数最大项；
(2)求得展开式通项公式，令4−3r2∈Z，且r=0，1，2，3，4，计算即可．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
16.【答案】an=2n−1；
Tn=n2n+1．
【解析】(1)由题意得Snn=1+n−1=n，则Sn=n2，
当n=1时，a1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
因为a1=1满足上式，
所以数列{an}的通项公式an=2n−1．
(2)由(1)得：bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．
(1)根据题意可得Sn=n2，利用an，Sn的关系，求an即可；
(2)由bn=1anan+1=12(12n−1−12n+1)，再利用裂项相消法求和即可．
本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】y=−3x−1；
(2详见解答过程．
【解析】解：(1)当a=1时，f(x)=2lnx−x2−3x，f′(x)=2x−2x−3，
则f(1)=−4，f′(1)=−3，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=−3x−1；
(2)证明：由f′(x)=2x−2ax+1−4a=(1−2ax)(x+2)x，x>0，
当a0(x>0)，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，无最大值；
当a>0时，x∈(0,12a)时，f′(x)>0,x∈(12a,+∞)时，f′(x)0)，
令H(x)=lnx−x+1，则H′(x)=1−xx(x>0)，则H(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
又12a>0，则H(12a)≤H(1)=0.即ln12a−12a+1≤0(a>0)，得证．
(1)结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
(2)先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可证．
本题主要考查了导数与单调性关系在不等式证明中的应用，还考查了导数几何意义的应用，属于中档题．
18.【答案】x212+y26=1；
①证明过程见解析；
②[4,3 2]．
【解析】(1)因为椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，点E(2,2)在椭圆上，
所以a= 2b22a2+22b2=1，
解得a2=12b2=6，
则椭圆C的标准方程为x212+y26=1；
(2)①证明：当直线l斜率不存在时，
切线方程为x=±2，
联立x=2x212+y26=1，
解得y=±2，
所以直线x=2与椭圆C的两个交点分别为A(2,2)、B(2,−2)，
此时OA⋅OB=0，
即OA⊥OB，
同理可知，直线x=−2与椭圆C的两个交点分别为A(−2,2)、B(−2,−2)，
可得OA⊥OB；
当切线斜率存在时，
设切线方程为y=kx+m，A(x1,y1)、B(x2,y2)，
联立y=kx+mx212+y26=1，消去y并整理可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−12=0，
此时Δ=16k2m2−4(2k2+1)(2m2−12)>0，
解得m2