2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i是虚数单位，则1−2i3−i=( )
A. 12−12iB. −12−12iC. 12+12iD. −12+12i
2.已知扇形的弧长为4π3，圆心角为40°，则该扇形的半径为( )
A. 2B. 3C. 6D. 8
3.下列叙述正确的是( )
A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
4.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，AP=λAB+μAC，则 3λ−μ的最小值是( )
A. 0B. 3C. 2D. −1
5.一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则( )
A. 极差为5B. 中位数是7C. 平均数是5D. 众数是8
6.已知tan(π4−α2)=12，则1+sinαcsα=( )
A. 12B. 2C. −12D. 2或−12
7.圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为( )
A. 3πB. 2 3πC. π3D. π2
8.设向量a，b是非零向量，且|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量为−2b，若(λa+b)⊥(a−b)，则实数λ的值为( )
A. 12B. 13C. 23D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则( )
A. |z|= 5
B. z的实部是2
C. z的虚部是−i
D. 复数z的共轭复数z−在复平面内对应的点在第一象限
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是( )
A. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
C. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
D. 若△ABC的面积S=14(a2+b2−c2)，则C=π4
11.设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0，c>b>0.若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是( )
A. 若a=b，则f(x)的零点均大于1
B. 若△ABC为直角三角形，则对于∀n∈N∗，f(2n)≥0恒成立．
C. ∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长
D. ∃x∈(−∞,1]，f(x)0．
(1)若f(x)=3x，t=1，对y=f(x)进行φ变换后得到函数y=g(x)，解方程g(x)=2．
(2)若f(x)=x2，对y=f(x)进行ω变换后得到函数y=ℎ(x)，解不等式f(x)≥ℎ(x)．
(3)若函数y=f(x)在(−∞,0)上是严格增函数，对函数y=f(x)先作φ变换，再作ω变换，得到函数y=ℎ1(x)，对函数y=f(x)先作ω变换，再作φ变换，得到函数y=ℎ2(x).对任意t>0，若ℎ1(x)=ℎ2(x)恒成立，证明：函数y=f(x)在R上是严格增函数．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.D
5.C
6.B
7.A
8.A
9.ABD
10.BCD
11.AC
12.3
13.− 32
14.4π
15.(1)因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，
可得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.030．
(2)若该校高一年级共有学生640名，成绩不低于80分的频率为(0.025+0.01)×10=0.35，
成绩不低于80分的人数为640×0.35=224人．
(3)(ⅰ)成绩来自[40,50)的学生人数为40×0.05=2人，记为a，b，
成绩来自[90,100]的学生人数为40×0.1=4人呢，记为c，d，e，f，
则从中随机选取两名学生的样本空间为：Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共15个样本点，
(ⅱ)设M=“两名学生数学成绩至多有一名及格”，
则M={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf}，其中含了9个样本点，
所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率P(M)=915=35．
16.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，
可得a2=b2+c2−2bccsA，即48=b2+16+4b，
解得b=4或b=−8(舍)，
所以|AC+AB|2=AC2+AB2+2AC⋅AB⋅cs∠BAC=16．
所以|AC+AB|=4；
(2)以A为原点，AB所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系．

设∠PAB=α(0≤α≤23π)，则P点坐标为(csα,sinα)，
由(1)知，AB=AC=4，∠BAC=2π3，
所以B点坐标为(4,0)，C点坐标为(−2,2 3)，
所以PB=(4−csα,−sinα),PC=(−2−csα,2 3−sinα)，
所以PB⋅PC=−2 3sinα−2csα−7=−4sin(α+π6)−7，
因为0≤α≤23π，所以π6≤α+π6≤56π，
所以12≤sin(α+π6)≤1，所以−11≤PB⋅PC≤−9，
所以PB⋅PC的取值范围是所以[−11,−9]；
(3)根据题意AP=xAB+yAC，
则|AP|2=|AB|2⋅x2+|AC|2⋅y2+2xy|AB||AC|⋅cs∠BAC，
化简可得(x+y)2−3xy=116，
因P为△ABC内部(包含边界)的动点，所以x≥0，y≥0，
根据基本不等式xy≤(x+y2)2，可得−3xy≥−34(x+y)2，
当且仅当x=y时等号成立，
所以(x+y)2−34(x+y)2≤116，解得(x+y)≤12，
当且仅当x=y时等号成立，
即最小值是AP在AB或AC向量上取得，
当AP在AB上时，可得x=14,y=0，
所以x+y∈[14,12]．
17.(1)证明：设AC∩BD=O，连接PO，
在△BDD1中，点P为棱DD1的中点，O为BD的中点，所以PO//BD1，
因为BD1⊄平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD1//平面PAC；
(2)解：由PO//BD1，可知∠APO(或补角)为异面直线BD1与AP所成的角，
由题意得AD=DP=DC=1，PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，
所以AP=PC=AC= 2，
因为OA=OC，PO为等边三角形△APC的中线，
所以∠APO=π6，可得异面直线BD1与AP所成的角为π6；
(3)解：连接BC1，
根据D1C1⊥平面BCC1B1，可得∠D1BC1为直线BD1与平面BCC1B1所成的角，
在Rt△BD1C1中，D1C1⊥BC1，D1C1=1,BC1= 12+22= 5，
所以tan∠D1BC1= 55，可得直线BD1与平面BCC1B1所成的角的正切值为 55．
18.(1)由(b2+c2−a2)sinBcsB= 32bccs(B+C)，
结合余弦定理，得2bccsAsinBcsB= 32bccs(B+C)=− 32bccsA，
由三角形ABC为斜△ABC，可得csA≠0，
可得2sinBcsB=− 32，即sin2B=− 32，
∵B