2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i是虚数单位，则1−2i3−i=( )
A. 12−12iB. −12−12iC. 12+12iD. −12+12i
2.已知扇形的弧长为4π3，圆心角为40°，则该扇形的半径为( )
A. 2B. 3C. 6D. 8
3.下列叙述正确的是( )
A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
4.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，AP=λAB+μAC，则 3λ−μ的最小值是( )
A. 0B. 3C. 2D. −1
5.一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则( )
A. 极差为5B. 中位数是7C. 平均数是5D. 众数是8
6.已知tan(π4−α2)=12，则1+sinαcsα=( )
A. 12B. 2C. −12D. 2或−12
7.圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为( )
A. 3πB. 2 3πC. π3D. π2
8.设向量a，b是非零向量，且|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量为−2b，若(λa+b)⊥(a−b)，则实数λ的值为( )
A. 12B. 13C. 23D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则( )
A. |z|= 5
B. z的实部是2
C. z的虚部是−i
D. 复数z的共轭复数z−在复平面内对应的点在第一象限
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是( )
A. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
C. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
D. 若△ABC的面积S=14(a2+b2−c2)，则C=π4
11.设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0，c>b>0.若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是( )
A. 若a=b，则f(x)的零点均大于1
B. 若△ABC为直角三角形，则对于∀n∈N∗，f(2n)≥0恒成立．
C. ∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长
D. ∃x∈(−∞,1]，f(x)0．
(1)若f(x)=3x，t=1，对y=f(x)进行φ变换后得到函数y=g(x)，解方程g(x)=2．
(2)若f(x)=x2，对y=f(x)进行ω变换后得到函数y=ℎ(x)，解不等式f(x)≥ℎ(x)．
(3)若函数y=f(x)在(−∞,0)上是严格增函数，对函数y=f(x)先作φ变换，再作ω变换，得到函数y=ℎ1(x)，对函数y=f(x)先作ω变换，再作φ变换，得到函数y=ℎ2(x).对任意t>0，若ℎ1(x)=ℎ2(x)恒成立，证明：函数y=f(x)在R上是严格增函数．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：1−2i3−i=(1−2i)(3+i)(3−i)(3+i)=5−5i10=12−12i．
故选：A．
结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：圆心角为40°，化成弧度得40π180=2π9，
结合扇形的弧长为4π3，可得2π9⋅r=4π3，解得r=6．
故选：C．
由题意将圆心角化为弧度，结合扇形的弧长公式求得扇形的半径．
本题主要考查弧度制、扇形的弧长公式等知识，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确；
对于B，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，故B错误；
对于C，将直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台，
若将直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体不是圆台，故C错误；
对于D，以半圆直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫球面，球面所围成的几何体叫做球体，故D错误．
故选：A．
根据旋转体的定义逐一判断即可．
本题考查了旋转体的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(cs150°,sin150°)=(− 32,12)，
设P(csθ,sinθ)，(0°≤θ≤150°)，因为AP=λAB+μAC，
所以(csθ,sinθ)=λ(1,0)+μ(− 32,12)，
于是λ− 32μ=csθ12μ=sinθ，解得：λ=csθ+ 3sinθ,μ=2sinθ，
那么 3λ−μ=sinθ+ 3csθ=2sin(θ+60°)，
因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ+60°≤210°，
故sin(θ+60°)≥−12，
因此 3λ−μ的最小值为−1．
故选：D．
建立坐标系写出A，B，C的坐标，设P(csθ,sinθ)，结合AP=λAB+μAC，把λ,μ用θ来表示，进而转变为函数求最值问题．
本题考查坐标法在向量中的应用，向量的坐标运算，三角函数的性质，考查了学生的计算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：数据从小到大排列为：2，3，4，5，6，7，8，
所以极差为8−2=6，故A错误；
中位数为5，故B错误；
平均数为2+3+4+5+6+7+87=5，故C正确；
因为所有数据都是出现一次，所以众数不存在，故D错误．
故选：C．
根据极差、中位数、平均数和众数的定义求解．
本题主要考查了极差、中位数、平均数和众数的定义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由tan(π4−α2)=12，得tanπ4−tanα21+tanπ4tanα2=12，解得tanα2=13，
所以1+sinαcsα=(sinα2+csα2)2cs2α2−sin2α2=1+tanα21−tanα2=2．
故选：B．
由两角差正切公式可得tanα2=13，再由同角三角函数基本关系及二倍角公式化简求解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，
可设圆锥和圆柱的底面半径为r，高为ℎ，
则圆锥的母线长为l= ℎ2+r2，
则圆锥的侧面积为πrl=πr⋅ ℎ2+r2，
而圆柱的侧面积为2πrℎ，则πr⋅ ℎ2+r2=2πrℎ，
即r= 3ℎ，则l= ℎ2+r2=2ℎ，
则圆锥侧面展开图的圆心角为2πrl=2π⋅ 3ℎ2ℎ= 3π．
故选：A．
根据圆锥和圆柱的侧面展开图特征及侧面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的侧面积公式，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知，a⋅b|b|2b=−2b，则a⋅b=−2|b|2，
由(λa+b)⊥(a−b)，
得(λa+b)⋅(a−b)=λa2−b2+(1−λ)a⋅b=4λ|b|2−|b|2−2(1−λ)|b|2=0，
所以λ=12．
故选：A．
由已知结合投影向量的意义可得a⋅b=−2|b|2，再利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出λ的值．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由(1+i)z=3+i，得z=3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，
所以|z|= 22+(−1)2= 5，故A正确；
z的实部是2，故B正确；
z的虚部是−1，故C错误；
z−=2+i，在复平面内对应点的坐标为(2,1)，在第一象限，故D正确．
故选：ABD．
根据复数的乘除求出z，然后由模的计算公式及复数的有关概念，复数的几何意义，逐一分析求解即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A：由正弦定理可将sin2A+sin2B>sin2C转化为a2+b2>c2，
则csC=a2+b2−c22ab>0，所以Cb>0，
可得c2=a2+b2，所以f(2n)=a2n+b2n−c2n=a2n+b2n−(a2+b2)nc，且c>a>0，c>b>0，
所以0