湖南省娄底市涟源市2025届高三下学期冲刺模拟考试(一)数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知命题，，则命题的否定为（ ）
3. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
4. 设，则“”是“复数为实数”的（ ）
5. 已知双曲线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
6. 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出为2，上、下旋转面的面积比是，则的长度是（ ）
7. 已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
8. 已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（ ）
10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ）
11. 数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若函数的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数______．
13. 设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______．
14. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是_____
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在矩形中，是的中点，连接交于点，将沿直线折起，使点到点的位置，刚好点在平面内的正投影是点．过作线段平行且等于，连接，，，．设，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16. （1）在学习三角函数时，某校数学学习小组的同学们通过研究得到这样两个公式：①；②．请你在①和②中任选一个进行证明．（如果选择两个分别进行证明，则按第一个证明过程给分）
（2）在中，内角，，所对的边分则为，，，且，若的面积为，底边上的高为1，求的周长．
17. 已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，右焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为．过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与在轴上方的部分分别交于点，．
(1)当为的上顶点时，求直线的斜率；
(2)求四边形的面积的最大值．
18. “村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负．甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为，甲、乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为，．现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗．经过数轮对抗后，当一方球队比另一方球队多进2个球时，比赛结束．假定甲、乙球队互不影响，各轮结果也互不影响．记在1轮对抗中，甲队踢进足球为事件，乙队踢进足球为事件．
(1)求，；
(2)经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为，求的概率分布列及数学期望；
(3)求恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率．
19. 请同学们阅读以下三段材料：
①若函数的导数为，则的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作；三阶导数的导数叫做的四阶导数，……一般地，阶导数的导数叫做的阶导数，即，．
②若，定义．
③若函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求在点处的3阶泰勒展开式；
(2)设在点处的3阶泰勒展开式为，试比较与的大小；
(3)已知常数，证明：当无限大时，总有．
湖南省娄底市涟源市2025届高三下学期冲刺模拟考试(一)数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、复数、平面解析几何、空间向量与立体几何、数列、平面向量、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．
B．
C．
D．
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．3
D．
A．6
B．7
C．8
D．9
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为
B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变
C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差
A．为等差数列
B．可能为常数列
C．若为递增数列，则
D．若为递增数列，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
2
适中
12
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
特称命题的否定及其真假判断
3
0.65
根据分段函数的单调性求参数；由幂函数的单调性求参数
4
0.65
判断命题的充分不必要条件；已知复数的类型求参数
5
0.94
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
6
0.65
圆锥的结构特征辨析；由平面图形旋转得旋转体
7
0.65
函数对称性的应用；基本不等式“1”的妙用求最值；函数奇偶性的定义与判断；基本不等式求和的最小值
8
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；根据二次函数零点的分布求参数的范围；函数与方程的综合应用
二、多选题
9
0.85
函数图象的变换；指数函数图像应用
10
0.65
作差法比较代数式的大小；基本（均值）不等式的应用；由不等式的性质比较数（式）大小
11
0.65
利用an与sn关系求通项或项；根据数列的单调性求参数；判断等差数列；利用定义求等差数列通项公式
三、填空题
12
0.65
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；导数的运算法则；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
13
0.65
向量夹角的计算；求投影向量；数量积的运算律
14
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；基本不等式求和的最小值；根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式
四、解答题
15
0.65
线面垂直证明线线垂直；线面角的向量求法；证明线面垂直
16
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用
17
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；求直线与椭圆的交点坐标；求椭圆中的最值问题
18
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；独立重复试验的概率问题；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
19
0.4
导数的运算法则；由导数求函数的最值（不含参）；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2,4
2
等式与不等式
1,7,10,14
3
函数与导数
3,7,8,9,12,14,19
4
复数
4
5
平面解析几何
5,17
6
空间向量与立体几何
6,15
7
数列
11
8
平面向量
13
9
三角函数与解三角形
16
10
计数原理与概率统计
18