湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷（图片版，含答案）含答案解析

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这是一份湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷（图片版，含答案）含答案解析，共20页。试卷主要包含了 12， 16，证明见解析等内容，欢迎下载使用。
数学试题

11． 12． 13． 14．
15． 16． 17． 18．
19．
【详解】解：原式分
分
20．，
【详解】解：
分
＝，分
当时，原式．分
21．(1)1
(2)见解析
(3)小时．
【详解】（1）解：由题意可得：小时的人数为：100人，所占比例为：，，
∴本次调查共抽样了500名学生；
∴第250名学生的运动时间为1小时，第251名学生的运动时间为1小时，
∴中位数小时，
故答案为：1；分(填空可不用写过程）
（2）1.5小时的人数为：（人）分
补全条形统计图，如图所示：
分
（3）根据题意得：，分
即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约小时．分
22．(1)证明见解析
(2)四边形是菱形
【详解】（1）解：∵点F是的中点，
∴，分
∵，
∴，
∴，分
∴，分
又∵，
∴四边形是平行四边形；分
（2）解：∵，
∴，分
∵
∴是等边三角形，
∴，分
又∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形，
∴当时，四边形是菱形，分
23．(1)
(2)
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
根据题意可知，，，
在中，，分
所以坐垫到地面的距离为，
答：坐垫到地面的距离约为．分
（2）如图，由题意得，当时，人骑行最舒服，
在中，，分
所以，
答：的长约为．分
24．(1)购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元．
(2)有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
(3)购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少，最少资金是万元．
【详解】（1）解：设购进1件甲种农机具 x 万元， 1件乙种农机具 y 万元．
根据题意得：，
解得：
答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元；分
（2）设购进甲种农机具 m 件，购进乙种农机具件，
根据题意得：，
解得：．分
m 为整数．
m 可取5、6、7．
有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；. 分
（3）设需要的资金为 w 万元．
，分
w 随 m 的增大而增大，
时， w 最小，．
购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少，最少资金是5.5万元．分
25．(1)
(2)面积的最大值为，此时点P的坐标为
(3)存在，Q的坐标为或
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，分
∴抛物线的解析式为；分
（2）解：由可得，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，分
，
，
，
∵轴，轴，
，
∴为等腰直角三角形，
，分
设，则，
，分
当时，即取最大值，此时的面积最大，
则；分
（3）解：存在．
当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点，
∵与关于轴对称，
，
又 ∵，
，
，
，
，
同理可得直线解析式为，分
设直线解析式为，将代入得，，
，
，
由，
解得或，
；分
当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点，
，
同理可得直线解析式为，分
，
，
，
，
联立，
解得或，
，
综上，点的坐标为或．分
26．（1）见解析（2），见解析（3），
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，分
是的直径，
，
，
，分
是的半径，
直线是的切线；分
（2），，
，
，分
，
，
，，
，
；分
（3）由（2）可知，，，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，分
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴（舍负）分
过C作于H，于G，
∵，
∴由，
∴，，
∵，平分，
∴，
则和是等腰直角三角形，
，分
四边形的面积，
，
，
，
分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C
C
C
B
C
D
A