2025年普通高等学校高三下学期招生全国统一考试数学预测卷（黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古专版）（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知复数满足，则（ ）
3. 已知向量，则向量与的夹角为（ ）
4. 为了了解某小区居民月用电情况，供电部门从该小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，统计他们的月用电量（单位：kW·h），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间）.
用样本估计总体，则下列说法中正确的个数是（ ）
①本小区居民月用电量的分位数不小于200kW·h；②本小区居民月用电量的平均数位于中；③本小区居民月用电量的众数为225kW·h；④本小区居民月用电量的极差位于中.
5. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
6. 已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（ ）
7. 如图，某圆台形木质零件的上底面圆的半径为3，下底面圆的半径为6，母线长为6.现从该零件中挖去了一个以圆为底面、为顶点的圆锥，为增加该材料的利用率，工人们准备利用剩下的材料制作一系列大小相等的球，每一个球都同时与圆台的母线、圆台的下底面及圆锥的母线相切，则这样的球至多可以制作的个数是（参考数据：）（ ）
8. 已知函数满足，则下列结论正确的是（ ）
①；②，使得；③若，则；④若，则
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知锐角满足，则（ ）
10. 如图，在正方体中，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（ ）
11. 若函数满足，其中为的导函数，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 从分别标有数字2024，2025，2026的三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，记下数字后放回，以此类推，抽取次后，记下的个数字之和为奇数的概率为______.
13. 已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为.若线段与双曲线交于点，与抛物线交于点，且，，则双曲线的离心率为______.
14. 已知函数.若函数在点处的切线与直线垂直，则的值为______；若函数有且仅有一个极值点，则的取值范围为______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，且，，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16. 如图，在四棱锥中，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一球放回原来的箱子.现抛掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，2，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为3，4，5，6，则从乙箱开始进行一次“交换”.
(1)求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率；
(2)已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设甲箱中红球的个数为.求随机变量的分布列和数学期望.
18. 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.
(1)求动点的轨迹方程.
(2)设分别是方程表示的曲线的上、下顶点，、是直线与曲线的两个交点.
①若直线AC的斜率与直线BD的斜率满足，求证：直线CD过定点.
②当变化时、试探究（为坐标原点）的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围；
(3)求证：.
2025年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古专版）
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、不等式选讲、复数、平面向量、计数原理与概率统计、平面解析几何、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、函数与导数、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．32
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．4
B．5
C．6
D．7
A．①③
B．①②③
C．②④
D．①③④
A．
B．
C．
D．
A．平面
B．存在点，满足平面
C．当且仅当时，取得最小值
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
A．
B．函数的值域为
C．函数在区间上单调递减
D．当且仅当时，
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
3
适中
10
较难
3
困难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交并补混合运算；解不含参数的一元二次不等式；几何意义解绝对值不等式
2
0.85
求复数的模；复数加减法的代数运算；复数的相等；共轭复数的概念及计算
3
0.65
数量积的运算律；向量夹角的计算
4
0.65
由频率分布直方图估计平均数；总体百分位数的估计
5
0.65
求平面轨迹方程；由圆的一般方程确定圆心和半径；求双曲线的轨迹方程
6
0.65
用和、差角的余弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
7
0.65
多面体与球体内切外接问题；球的截面的性质及计算
8
0.4
求函数值；数列周期性的应用；根据数列递推公式写出数列的项
二、多选题
9
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的正切公式化简、求值；逆用和、差角的正切公式化简、求值；二倍角的正弦公式
10
0.65
空间位置关系的向量证明；空间向量模长的坐标表示；线面角的向量求法
11
0.4
求csx型三角函数的单调性；分段函数的值域或最值；基本初等函数的导数公式；求分段函数值
三、填空题
12
0.85
利用全概率公式求概率；由递推关系式求通项公式；独立事件的乘法公式
13
0.4
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；根据抛物线方程求焦点或准线
14
0.15
已知切线（斜率）求参数；根据极值点求参数；两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；利用导数研究不等式恒成立问题
四、解答题
15
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；错位相减法求和
16
0.65
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直
17
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
18
0.15
求平面轨迹方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中的直线过定点问题
19
0.15
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
不等式选讲
1
4
复数
2
5
平面向量
3
6
计数原理与概率统计
4,12,17
7
平面解析几何
5,13,18
8
三角函数与解三角形
6,9,11
9
空间向量与立体几何
7,10,16
10
函数与导数
8,11,14,19
11
数列
8,12,15