河南省信阳市固始县永和高级中学、信合外国语高级中学2024-2025学年高三下学期二模联考数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则A的子集个数为（ ）
2. 在复数集中，我们把实部与实部相等，虚部与虚部互为相反数的一对具有孪生关系的复数记为和，他们也是实系数一元二次方程（）在判别式小于0时的两个复数根，我们将这种关系定义为共（ ）
3. 记等差数列的前项和为，已知，则（ ）
4. 在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（ ）
5. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则（ ）
6. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）
7. 若，且与存在且唯一，则（ ）
8. 已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（ ）
10. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
11. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为______.
13. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为______.
14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在多面体中，，，，平面，，，.
(1)求证：直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
16. 某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场.
(1)若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2)现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案.
17. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求C的方程；
(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(3)求的最小值.
19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
河南省信阳市固始县永和高级中学、信合外国语高级中学2024-2025学年高三下学期二模联考数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、数列、三角函数与解三角形、平面解析几何、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．4
B．7
C．8
D．16
A．额
B．呃
C．扼
D．轭
A．33
B．44
C．55
D．66
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．3
C．
D．2
A．2
B．4
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．星等值越小，星星就越亮
B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍
C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于
D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于
A．
B．
C．
D．
A．的最小值为
B．的最小值为4
C．当时，则
D．当时，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
9
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
判断集合的子集（真子集）的个数；解不含参数的一元二次不等式；描述法表示集合
2
0.94
共轭复数的概念及计算
3
0.85
利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和
4
0.65
探求命题为真的充要条件；正弦定理边角互化的应用；用和、差角的正弦公式化简、求值
5
0.85
等比数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和；等差数列通项公式的基本量计算
6
0.85
抛物线的焦半径公式；根据抛物线方程求焦点或准线
7
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值；用和、差角的正切公式化简、求值；已知正（余）弦求余（正）弦；已知弦（切）求切（弦）
8
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；由奇偶性求参数；导数的运算法则；简单复合函数的导数
二、多选题
9
0.65
简单的对数方程；指数式与对数式的互化；由对数函数的单调性解不等式
10
0.85
独立重复试验的概率问题；二项分布的方差
11
0.4
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）；复数范围内方程的根；求复数的模；共轭复数的概念及计算
三、填空题
12
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；已知两点求斜率
13
0.65
求异面直线所成的角；余弦定理解三角形
14
0.65
已知切线（斜率）求参数；由导数求函数的最值（不含参）
四、解答题
15
0.65
面面角的向量求法；空间位置关系的向量证明；点到直线距离的向量求法
16
0.65
计算条件概率；求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列
17
0.4
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中的定值问题；已知切线求参数；椭圆中三角形（四边形）的面积
18
0.4
求双曲线中的最值问题；双曲线中的定值问题；根据a、b、c求双曲线的标准方程；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
19
0.65
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；导数的运算法则
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,4
2
等式与不等式
1
3
复数
2,11
4
数列
3,5
5
三角函数与解三角形
4,7,13
6
平面解析几何
6,11,12,17,18
7
函数与导数
8,9,14,19
8
计数原理与概率统计
10,16
9
空间向量与立体几何
13,15