河南省信阳市固始县永和高中联考2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

这是一份河南省信阳市固始县永和高中联考2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在平行四边形中，．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
7．抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（ ）
A．B．
C．D．
8．一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A．B．C．D．与的大小与有关
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数满足，则的最大值为
10．从这9个整数中随机取1个数，记是此试验中的两个事件，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是对立事件
B．若，则
C．若，则与相互独立
D．若，则与互斥
11．如图所示，扇形的半径是弧的中点，点是线段上的动点且满足，则的值可以是（ ）
A．6B．8C．D．
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 .
13．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
14．如图，在中，，点在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. (13分)
已知是虚数单位，复数，．
(1)当复数为实数时，求的值；
(2)当复数为纯虚数时，求的值；
16. (15分)
已知向量，，．
(1)若与向量垂直，求实数的值；
(2)若向量，且与向量平行，求实数的值，并判断这时与向量同向还是反向．
17. (15分)
如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．
(1)证明：平面PDE；
(2)已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．
18. (17分)
生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义，生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值（）进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时，认为药物有效；当值大于80时，认为药效显著.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替）.
(1)求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
(2)若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著的样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”，事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”，求；
(3)从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为，方差.计算上述30个样本数据均值，方差.
19. (17分)
如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．
(1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；
(2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足
①求证：；
②求的最小值．
固始县永和高中联考2023-2024学年下期期末考试
高一数学参考答案
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。）
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．且
13．
14．2
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．
（1）为实数，，解得：或…………（6分）
（2）为纯虚数，，解得：.…………（13分）
16．（1）由已知得，
，
与向量垂直
，
解得；…………（7分）
（2），，
，
与向量平行，，
，
，
此时，，
，
与向量反向. …………（15分）
17．（1）取PD的中点,连接,，
∵F，分别为PC，PD的中点，∴
又∵E为AB的中点，∴，
∴，∴FGEB为平行四边形，∴，
又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE. …………（7分）
（2）在平行四边形中，因为，所以，
又因为A＝45°，可得即，
因为平面PDE⊥平面BCD，平面PDE平面BCD=，
所以平面⊥平面，
由（1）可知，，所以平面，连接,
即为直线MF与平面PDE所成的角，
因为，
所以，
即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为.…………（15分）
18．
（1）由频率之和为1以及频率分布直方图得，，
则前3组频率之和为，
前4组频率之和为，
所以注射乙种药物指标值的中位数在内为.…………（5分）
（2）由题甲、乙两种药物药效显著的频数分别为、，
故按比例从中抽取5件则从甲种药物中抽件，记为M、N，从乙种药物中抽件，记为a、b、c，
再从这5件中抽取2件样本的样本空间为共10个样本点，
则共4个样本点，共9个样本点，
所以，故.…………（13分）
（3）由题，
故.……（17分）
19．
（1）设,
在中，由余弦定理得,
，
当时，.…………（6分）
（2）①在中，由余弦定理,
所以，
再由正弦定理得,
,
,
,
,
所以，.
②设，则
由正弦定理可得,所以,
所以
.
当时，的最小值为.…………（17分）
值
频数
2
3
7
4
3
1
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
D
A
D
D
C
A
9
10
11
CD
BCD
ABC