河南信阳固始县永和高中联考2023~2024学年高一下册7月期末考试数学试卷[附解析]

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注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1.已知集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.
2.已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限；
故选：B
3.在平行四边形中，．若，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用表示出，求出参数，进而得结果.
【详解】，

所以，则.
故选：D
4.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】将所给函数化为，根据函数图象平移变换即可求解.
【详解】
因此，要得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位.
故选：A
5.若，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由诱导公式计算出，在代入正切二倍角公式即可.
【详解】原方程可化为，故.
故选：D
6.设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用体积相等可得答案.
【详解】设内切球的球心为，连接，
则把四棱台分割成六个四棱锥，
且六个四棱锥的高都为内切球的半径，
四棱台的高为，所以
，
化简可得
故选：D.
7.抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用列表法结合古典概型求，结合概率的性质逐项分析判断.
【详解】由题意可知：基本事件的总数为，
对于事件A，列表如下：
可知，则；
对于事件B，列表如下：
可知，则；
对于事件，列表如下：
可知，则；
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：，故D错误；
故选：C.
8.一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A.B.C.D.与的大小与有关
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数、方差（或标准差）公式分析运算.
【详解】对于数据，可得，
所以；
对于数据，，…，，可得，
所以；
对于数据，，…，，可得：
平均数，
标准差
，
注意到，所以.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9.设，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A.若是纯虚数，则
B.若，则
C.若，则
D.若复数满足，则的最大值为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念及乘法运算判断A，取特殊值判断B，利用复数的模及共轭复数的乘法运算判断C，由复数模及不等式的性质判断D.
【详解】对于A，因为是纯虚数，所以设，则，所以A错误；
对于B，取，，满足，则不成立，所以B错误；
对于C，设，因为，所以，
因为，，所以，所以C正确；
对于D，设，由，得，则可得，
所以，时取等号，所以D正确.
故选：CD
10.从这9个整数中随机取1个数，记是此试验中的两个事件，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A.与是对立事件
B.若，则
C.若，则与相互独立
D.若，则与互斥
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，根据已有条件不能确定与是否对立；B选项，根据条件得到，求
出答案；C选项，根据条件得到与相互独立，从而得到答案；D选项，根据和已有条件得到，故D正确.
【详解】A选项，与的关系末知，故A错误；
B选项，若，则，故B正确；
C选项，因为，所以，
当时，可得，所以与相互独立，
所以与也相互独立，故C正确；
D选项，因为，，
又，
所以，即与互斥，故D正确.
故选：BCD
11.如图所示，扇形的半径是弧的中点，点是线段上的动点且满足，则的值可以是（ ）
A. 6B. 8C.D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】设出，利用平面向量基本定理得到，化简得到，结合，求出，进而判断四个选项.
【详解】设，则，则
，
因为，所以，则A，B正确，
，C也符合，
，D不符合条件.
故选：ABC
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12.已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.
【答案】且
【解析】
【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】由于与夹角为钝角，所以，
解得且.
所以的取值范围是且.
故答案为：且
13.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，则该四棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设正方形的中心，三角形的外心，取的中点， 分别以，为邻边作一个矩形，可证明，点就是该外接球的球心，求出球半径，进而可得结果.
【详解】
设正方形的中心，三角形的外心，
取的中点，连，，则，，
分别以，为邻边作一个矩形，如图，
因为侧面底面，
则平面，平面，
则，
所以点就是该外接球的球心，
由，可得，
在中，，
外接圆的表面积为，
故答案为：.
【点睛】要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径（球心在过底面多边形的外心且与底面垂直的直线上）.
14.如图，在中，，点在边上（与不重合），延长到，使得8，若为常数，则的长度为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量共线可得，根据向量共线的结论：系数和为1，可求解，进而可得之间的关系，然后根据余弦定理求，判断出是等边三角形，进而可求解.
【详解】设,则,因为三点共线，所以，故，因此,由得,在中,由余弦定理可得：,因为,故,又,故是等边三角形，所以.
故答案为：2
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知是虚数单位，复数，．
（1）当复数为实数时，求的值；
（2）当复数为纯虚数时，求的值；
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】根据实数和纯虚数定义可直接构造方程求得结果.
【小问1详解】
为实数，，解得：或.
【小问2详解】
纯虚数，，解得：.
16 已知向量，，．
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值，并判断这时与向量同向还是反向．
【答案】（1）
（2），反向
【解析】
【分析】（1）求出与的坐标，然后利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可；
（2）求出与的坐标，然后利用向量平行的坐标公式列方程求出实数的值，进而可以得到与向量的关系，从而得到其方向关系.
【小问1详解】
由已知得，
，
与向量垂直
，
解得；
【小问2详解】
，，
，
与向量平行，，
，
，
此时，，
，
与向量反向.
17.如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．
（1）证明：平面PDE；
（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）取PD的中点H，证明四边形FHEB为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；
（2）由题目条件易得，在由面面垂直的性质定理证得平面⊥平面，连接,即为直线MF与平面PDE所成的角，,代入即可求出答案.
【小问1详解】
取PD的中点,连接,，
∵F，分别为PC，PD的中点，∴
又∵E为AB的中点，∴，
∴，∴FGEB为平行四边形，∴，
又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE.
【小问2详解】
在平行四边形中，因为，所以，
又因为A＝45°，可得即，
因为平面PDE⊥平面BCD，平面PDE平面BCD=，
所以平面⊥平面，
由（1）可知，，所以平面，连接,
即为直线MF与平面PDE所成的角，
因为，
所以，
即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为.
18.生物医药开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义，生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值（）进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时，认为药物有效；当值大于80时，认为药效显著.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替）.
（1）求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
（2）若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著的样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”，事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”，求；
（3）从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为，方差.计算上述30个样本数据均值，方差.
【答案】（1）；注射乙种药物指标值的中位数为
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解；根据频率分布直方图确定频率之和为0.5所在的组从而确定中位数所在的范围即可求解.
（2）先确定甲、乙两种药物药效显著的频数，从而确定其被抽取的件数，再将总样本空间和事件A、B的样本空间求出来即可得到事件的样本空间及其样本点，进而得解.
（3）根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式直接计算即可得解.
【小问1详解】
由频率之和为1以及频率分布直方图得，，
则前3组频率之和为，
前4组频率之和为，
所以注射乙种药物指标值的中位数在内为.
【小问2详解】
由题甲、乙两种药物药效显著的频数分别为、，
故按比例从中抽取5件则从甲种药物中抽件，记为M、N，从乙种药物中抽件，记为a、b、c，
再从这5件中抽取2件样本的样本空间为共10个样本点，
则共4个样本点，共9个样本点，
所以，故.
【小问3详解】
由题，
故.
19.如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．
（1）若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；
（2）在中，记的对边分别为a，b，c，且满足
①求证：；
②求的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析；.
【解析】
【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可；
（2）①应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
设,
在中，由余弦定理得,
，
当时，.
【小问2详解】
①在中，由余弦定理,
所以，
再由正弦定理得,
,
,
,
,
所以，.
②设，则
由正弦定理可得,所以,
所以
.
当时，的最小值为.
【点睛】方法点睛：最值问题可以通过转化未知量转化为函数，结合三角函数的值域或者基本不等式求解即可.
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