2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第三章进阶篇不等式证明方法进阶2飘带不等式（Word版附答案）

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1.(17分)(2025·贵阳模拟)已知函数f(x)=ln x-a(x-1)x+1在x=1处的切线为x轴.
(1)求实数a的值；(4分)
(2)求f(x)的单调区间；(5分)
(3)若x1>x2>0，证明：x1-x2ln x1-ln x2a>0，且bln a-aln b=a-b，证明：
(1)a+b-ab>1；(5分)
(2)1a+1b>2；(6分)
(3)a+b>2.(6分)
答案精析
1.(1)解 因为f(x)=ln x-a(x-1)x+1，x>0，
所以f'(x)=1x-2a(x+1)2，x>0，
又因为函数y=f(x)在x=1处的切线为x轴，
所以f'(1)=1-a2=0，
解得a=2.
(2)解 由(1)可知f(x)=ln x-2(x-1)x+1，x>0，
所以f'(x)=1x-4(x+1)2
=(x-1)2x(x+1)2≥0，
所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间.
(3)证明 由(2)可知函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，
所以当x>1时，f(x)>0，
又因为x1>x2>0，所以x1x2>1，
有f x1x2>0，又ln x1>ln x2，
有ln x1-ln x2>0，
由f x1x2>0，
得lnx1x2-2x1x2-1x1x2+1>0，
即lnx1x2>2x1x2-1x1x2+1=2·x1-x2x1+x2，
即ln x1-ln x2>2·x1-x2x1+x2， (*)
又因为ln x1-ln x2>0，x1+x2>0，
将(*)式两边同时乘x1+x22(ln x1-ln x2)，
得x1-x2ln x1-ln x20，f(x)单调递增；
当x>1时，f'(x)a>0，
∴00，
即证(1-b)(a-1)>0，
显然成立，得证.
(2)当0