2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第六章6.4数列中的构造问题（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第六章6.4数列中的构造问题（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，又函数f(x)=x3-an+1sin x+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，则S2 025等于( )
A.22 023-2 024B.22 024-2 025
C.22 025-2 026D.22 026-2 027
2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于( )
A.17B.18C.19D.20
3.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 023a2 025-a2 0242等于( )
A.1B.-1C.2D.-2
4.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为( )
A.-32，1B.(-2，1)
C.(-1，1)D.(0，1)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2(n∈N*)，则下列说法正确的有( )
A.a1=13
B.S4=1903
C.{an}是等比数列
D.Sn+23是等比数列
6.(2024·邢台模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则( )
A.a2=24
B.an4n为等比数列
C.S10=29×410+13
D.lg2(4a100-3S100+1)=200
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，则{an}的通项公式为 .
8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 .
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2025·湖北云学重点高中联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1且Sn+1=2Sn+n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)设数列{bn}满足bn=lg2(an+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求1T2+1T3+1T4+…+1Tn.(7分)
10.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1=3，an+1=3anan+2.
(1)证明：数列1-1an为等比数列；(5分)
(2)求{an}的通项公式；(4分)
(3)令bn=an+1an，证明：bn3n-(-2)nλ，
即3n-1>(-2)n-1λ恒成立，
当n为奇数时，λ-32，所以实数λ的取值范围为-32，1.]
5.ABD [由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2，
则a2=3S1+2=3a1+2，
所以a1=13，故A正确；
因为an+1=3Sn+2，①
所以当n≥2 时，an=3Sn-1+2，②
①-②得an+1-an=3an，即an+1=4an，
当n=1时，a1=13，不满足a2=4a1，
故数列{an}不是等比数列，故C错误；
当n≥2时，an+1=4an，
则a3=4a2=12，a4=4a3=48，
故S4=13+3+12+48=1903，故B正确；
由an+1=3Sn+2，
得Sn+1-Sn=3Sn+2，
所以Sn+1=4Sn+2，
令Sn+1+λ=4(Sn+λ)，
则Sn+1=4Sn+3λ，
所以3λ=2，即λ=23，
所以Sn+1+23=4Sn+23，
即Sn+1+23Sn+23=4，故Sn+23是首项为S1+23=a1+23=1，
公比为4的等比数列，故D正确.]
6.ACD [选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确；
选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1，
得an+14n+1=an4n+34，
即an+14n+1-an4n=34，
则an4n是首项为a14=34，公差为34的等差数列，不是等比数列，B错误；
选项C，由an4n=34+34(n-1)=34n，
得an=3n×4n-1，
所以Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n-1，①
则4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n，②
①-②得，-3Sn=3+3×(4+42+43+…+4n-1)-3n×4n=3+3×4(1-4n-1)1-4-3n×4n=-(3n-1)×4n-1，
即Sn=(3n-1)×4n+13，
则S10=29×410+13，C正确；
选项D，因为4an-3Sn+1=4×3n×4n-1-3×(3n-1)×4n+13+1=4n，
所以lg2(4a100-3S100+1)=lg24100=lg22200=200，D正确.]
7.an=4n-1+23
8.an=12n-1
解析 在数列{an}中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0，
则有1an+1=2·1an+1，
即1an+1+1=21an+1，
而1a1+1=2，
因此数列1an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以1an+1=2n，即an=12n-1.
9.解 (1)由Sn+1=2Sn+n，
可得an+1=Sn+n，
令n=1，可得a2=S1+1=1，
即S1=a1=0，
由Sn+1=2Sn+n可得Sn+1+(n+1)+1=2(Sn+n+1)，
且S1+1+1=2≠0，
可知数列{Sn+n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则Sn+n+1=2×2n-1=2n，可得Sn+n=2n-1，即an+1=2n-1，
则an=2n-1-1，n≥2，
且a1=0符合上式，所以an=2n-1-1.
(2)由(1)可得bn=lg2(an+1)=lg22n-1=n-1，
则bn+1-bn=n-(n-1)=1，
可知{bn}是首项b1=0，公差为1的等差数列，
可得Tn=n(0+n-1)2=n(n-1)2，
当n≥2时，
则1Tn=2n(n-1)=21n-1-1n，
所以1T2+1T3+1T4+…+1Tn
=21-12+12-13+…+1n-1-1n
=21-1n.
10.(1)证明 ∵an+1=3anan+2，
∴1an+1=an+23an=23an+13，
∴1-1an+1=23-23an=231-1an，
又1-1a1=23≠0，
∴数列1-1an是首项为23，公比为23的等比数列.
(2)解 由(1)知1-1an=23n，
故an=11-23n=3n3n-2n.
(3)证明 bn=
an+1an=3n+13n+1-2n+1·3n-2n3n
=3(3n-2n)3n+1-2n+1=3·32n-33·32n-2=1-13·32n-2，
显然数列3·32n-2为递增数列，
且3·32n-2>0对n∈N*恒成立，
∴数列13·32n-2为递减数列，
∴数列{bn}为递增数列，且bn