天津津衡高级中学有限公司2025届高三下三模数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分)
1. 已知集合则=
2. 设是向量，则“”是“”的
3. 已知，且，则
4. 已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则
5. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
6. 已知双曲线的左、右焦点分别是，双曲线的渐近线上点满足，则双曲线的方程为
7. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
8. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
9. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是（ ）
①直线与直线是异面直线；
②若，则与一定不垂直；
③若，则三棱锥的体积为；
④三棱柱外接球的表面积的最大值为．
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分)
10. i是虚数单位，复数___________.
11. 设，则 .
12. 直线：与圆相切于点，且圆心在抛物线的准线上，则圆的标准方程为______
13. 2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有______种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为_______．
14. 在四边形中，已知．点E是线段上的点，且，则_______．若F是线段上的动点，则的最小值为_______．
15. 设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是______.
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分)
16. 在中，角的对边分别为，已知．
(1)若，求的外接圆的周长；
(2)若为锐角三角形，且，
①求角的取值范围；
②求面积的取值范围．
17. 如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若，且点到平面的距离为，求的值．
18. 已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为坐标原点)，的最大值.
19. 已知数列和的满足，
(1)（i）求的值；
（ii）求的值.
(2)若数列满足对于，求证：，使得．
20. 已知函数．
（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．
天津津衡高级中学有限公司2025届高三三模数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、数列、函数与导数、平面解析几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、复数、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．
B．
C．
D．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
题型
数量
单选题
9
填空题
6
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
9
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.85
判断命题的充分不必要条件；判断命题的必要不充分条件
3
0.85
由已知条件判断所给不等式是否正确
4
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；等比中项的应用
5
0.85
函数奇偶性的定义与判断；抽象函数的奇偶性
6
0.65
根据双曲线的渐近线求标准方程
7
0.65
概率分布曲线的认识；正态曲线的性质
8
0.65
求sinx的函数的单调性；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
9
0.4
锥体体积的有关计算；证明线面垂直；多面体与球体内切外接问题；异面直线的判定
二、填空题
10
0.85
复数的除法运算
11
0.65
求指定项的系数
12
0.85
由圆心（或半径）求圆的方程；根据抛物线方程求焦点或准线
13
0.85
分组分配问题；计算古典概型问题的概率
14
0.65
数量积的坐标表示；利用数量积求参数；平面向量线性运算的坐标表示
15
0.15
分段函数的性质及应用；利用导数研究函数的零点；求函数零点或方程根的个数
三、解答题
16
0.65
正弦定理求外接圆半径；三角形面积公式及其应用；二倍角的正弦公式；正弦定理边角互化的应用
17
0.65
求点面距离；面面角的向量求法；证明线面平行；点到直线距离的向量求法
18
0.65
根据离心率求椭圆的标准方程；求椭圆中的最值问题；椭圆中焦点三角形的面积问题
19
0.4
由递推关系式求通项公式；数列不等式能成立（有解）问题
20
0.4
利用导数证明不等式；含参分类讨论求函数的单调区间；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究双变量问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
等式与不等式
3
3
数列
4,19
4
函数与导数
5,15,20
5
平面解析几何
6,12,18
6
计数原理与概率统计
7,11,13
7
三角函数与解三角形
8,16
8
空间向量与立体几何
9,17
9
复数
10
10
平面向量
14