天津市滨海新区2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
1. 设集合，，，则等于（ ）
2. 已知、，则“”是“”的（ ）
3. 函数的图象可能为（ ）
4. 已知，，，则（ ）
5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
6. 下列说法中正确的是（ ）
7. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：

①在区间上单调递减
②的图象可由的图象向左平移个单位得到
③的对称轴为
④在区间上的最小值为
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为（ ）
9. 如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（ ）

二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为________．
11. 在二项式的展开式中常数项为________．
12. 已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为__________．
13. 某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为________；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率________．
14. 已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.
（1）若，则______；
（2）与的面积之比的最小值为______.
15. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________.
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
16. 在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18. 已知等差数列与正项等比数列满足：，．
(1)求、通项公式；
(2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和；
(3)若（其中），证明：．
19. 已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点．
（i）求面积的取值范围；
（ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．
20. 已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对，有，求的取值范围；
(3)证明：．
天津市滨海新区2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面解析几何、复数、平面向量、等式与不等式、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若随机变量，满足，则，
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．20
题型
数量
单选题
9
填空题
6
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
7
适中
8
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
并集的概念及运算；补集的概念及运算
2
0.85
判断命题的必要不充分条件
3
0.85
函数图像的识别；求含sinx的函数的奇偶性
4
0.85
比较指数幂的大小；比较对数式的大小；对数的运算
5
0.65
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断
6
0.85
指定区间的概率；总体百分位数的估计；求回归直线方程；方差的性质
7
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式；求sinx型三角函数的单调性；求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
8
0.65
根据a、b、c求双曲线的标准方程；已知方程求双曲线的渐近线
9
0.85
柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算
二、填空题
10
0.94
求复数的模；复数的除法运算
11
0.85
求二项展开式的第k项；求指定项的系数
12
0.65
圆的弦长与中点弦；根据抛物线方程求焦点或准线；坐标法的应用——点到直线的距离
13
0.65
计算古典概型问题的概率；计算条件概率
14
0.65
三角形面积公式及其应用；数量积的运算律；向量的线性运算的几何应用；基本不等式求和的最小值
15
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用；函数图象的应用
三、解答题
16
0.85
已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦；正弦定理边角互化的应用；正弦定理解三角形；余弦定理边角互化的应用
17
0.65
面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；空间位置关系的向量证明
18
0.65
裂项相消法求和；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算
19
0.4
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题；椭圆中三角形（四边形）的面积
20
0.15
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数证明不等式；用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
函数与导数
3,4,15,20
3
三角函数与解三角形
3,7,14,16
4
空间向量与立体几何
5,9,17
5
计数原理与概率统计
6,11,13
6
平面解析几何
8,12,19
7
复数
10
8
平面向量
14
9
等式与不等式
14
10
数列
18