2024~2025学年湖南省浏阳市高三上学期12月联考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年湖南省浏阳市高三上学期12月联考数学试卷【有解析】，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
6．已知三棱锥的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若定义在上的函数满足是奇函数，，则（ ）
A．0B．1C．2024D．2025
8．是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面BMN
C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D．点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为等差数列的前项和，且，则 .
13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
14．已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若的交点在上（均在轴上方），且，则的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在锐角中，角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面.
(1)若分别为的中点，求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求证.
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值.
19．给定数列，若对任意且是中的项，则称为“数列”；若对任意且是中的项，则称为“数列”.
(1)设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)设数列既是等比数列又是“数列”，且，求公比的所有可能取值；
(3)设等差数列的前项和为，对任意是数列中的项，求证：数列是“数列”.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由得，解得，即，
，所以.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
即复数在复平面内对应的点为，因此在第二象限.
故选：B.
3．【正确答案】B
【详解】由题意.
故选：B
4．【正确答案】D
【详解】由得，得，
所以.
故选：D.
5．【正确答案】D
【详解】圆的圆心为1,0半径，
圆心到直线的距离，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
6．【正确答案】A
【详解】
如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，

，
由余弦定理得，
，则，
截球所得的圆的圆心为的中点，半径，
由于三棱锥的侧棱长相等，所以共线，且，
.
设球的半径为，由得.
球的表面积．
故选：A．
7．【正确答案】A
【详解】由fx+2+fx=0得，函数的周期为4，
又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即，
因为，令x=2可得
令得：，所以，
故.
故选：A.
8．【正确答案】B
【详解】由题意，
由得，
当时，由，可知不是方程的解；
当时，，，
令，
则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
且，
当；当；
如图，作出函数的大致图象，
要使方程在上至少有3个不同的解，
则函数与直线有三个不同的交点.
故结合图形可知，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
9．【正确答案】BC
【详解】对于A：易知，即，可得A错误；
对于B：由对数运算法则计算可得，即B正确；
对于C：易知，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，即C正确；
对于D：易知，
当且仅当，且时，方程无解，故D错误.
故选：BC
10．【正确答案】ACD
【详解】由题意的最小正周期为，
得：，
对于恒成立，则，
图象关于直线对称，代入，得到，
由于，取，则，
所以为偶函数，
当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象.
因为当时，，
所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
11．【正确答案】BCD
【详解】选项A，连接，，，正方体中易知，
P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面，
当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，
但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误；
选项B，如图，取中点为，连接，，，
因为M，N分别是，中点，则与平行且相等，
故四边形是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；
选项C，如图，在平面上作⊥于K，
过K作⊥交BC或者于T，
因为平面⊥平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面QKT，
平面QKT截正方体截面为平行四边形，
当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为，
当Q与点无限接近时，面积接近于0，
过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确；
选项D，取的中点，连接，则，
则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆，
交，于X，Y，
则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧，
此时满足直线PH与直线AD夹角为，
如图，，故，
所以点H的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
12．【正确答案】
【详解】，故.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由题意可得，
设直线与曲线的切点为，则
又切点在曲线上，所以，联立解得，即.
，设直线与曲线的切点为，
所以，又，
联立两式，解得.
故2
14．【正确答案】
【详解】设，由题意可知，如图所示：
则直线的斜率，可知的方程为，
同理可得：的方程为，
联立方程，解得，即，
因为在上，可知关于轴对称，
且，可得，又因为，
联立，解得或（舍去）
故，所以椭圆的离心率为.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：，
即，
，
，
，又；
（2）由正弦定理得：,
,
，
在锐角中：，解得：，
，
,，
则.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设的中点为，连接，
为中点，，
又平面平面，
平面；
为中点，，
平面平面，
平面；
又，且平面，
平面平面，
平面，故平面.
（2）设的中中点为的中点为，连接，
，且，平面,
又平面平面，且平面平面，
平面，
又底面为等腰梯形，，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系：
则：
设平面与平面的一个法向量分别为
即：，可取，
即：，可取，
记平面与平面的夹角为，
.
17．【正确答案】(1)增区间为，减区间为
(2)证明见解析
【详解】（1）函数定义域为
，令f′x>0得：令f′x0；当x∈0,+∞时，ℎx