湖南省长沙市浏阳市联盟校2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市浏阳市联盟校2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在平行四边形中,点E为线段的中点,点F在线段上,且满足,记,,则( )
A.B.C.D.
4．已知,,则( )
A.B.C.D.
5．在平面直角坐标系中,已知直线与圆相交于A,B两点,则的最小值为( )
A.1B.C.2D.
6．已知三棱锥的侧棱长相等,且所有顶点都在球的球面上,其中,,,,则球的表面积为( )
A.B.C.D.
7．若定义在R上的函数满足是奇函数,,则( )
A.0B.1C.2024D.2025
8．是定义在上的函数,为的导函数,若方程在上至少有3个不同的解,则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,,且,则( )
A.B.
C.D.
10．已知函数的最小正周期为,其图象关于直线对称,且对于,恒成立,则( )
A.函数为偶函数
B.当时,的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称
11．如图,在棱长为2的正方体中,M,N,P分别是,,的中点,Q是线段上的动点（不包含端点）,则( )
A.存在点Q,使B,N,P,Q四点共面
B.存在点Q,使平面BMN
C.过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D.点H是四边形内的动点,且直线PH与直线AD夹角为,则点H的轨迹长度为
三、填空题
12．已知为等差数列的前n项和,且,则________.
13．若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则________.
14．已知,是椭圆的左､右焦点,P是C上一点,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线,若,的交点Q在C上（P,Q均在x轴上方）,且,则C的离心率为________.
四、解答题
15．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
（1）求角B;
（2）若,求面积的取值范围.
16．如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,平面平面,,,.
（1）若E,F分别为,的中点,求证:平面;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知函数,其中.
（1）当时,求函数的单调区间;
（2）当时,求证:.
18．已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过椭圆的右焦点F作直线l交椭圆C于M,N两点（点M在x轴的上方）,且,A为椭圆的左顶点,若的面积为,求的值.
19．给定数列,若对任意m,且,是中的项,则称为“H数列”;若对任意m,且,是中的项,则称为“J数列”.
（1）设数列的前n项和为,若,试判断数列是否为“H数列”,并说明理由;
（2）设数列既是等比数列又是“J数列”,且,,求公比q的所有可能取值;
（3）设等差数列的前n项和为,对任意,是数列中的项,求证:数列是“H数列”.
参考答案
1．答案：C
解析：由得,解得,即,
,所以.
故选:C.
2．答案：B
解析：因为,所以,
即复数在复平面内对应的点为,因此在第二象限.
故选:B.
3．答案：B
解析：由题意:.
故选:B
4．答案：D
解析：由得,得,
所以.
故选:D.
5．答案：D
解析：圆的圆心为半径,
圆心到直线的距离,,当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为.
故选:D
6．答案：A
解析：如图,三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,
,,,
由余弦定理得,
,则,
截球O所得的圆的圆心为的中点,半径,
由于三棱锥的侧棱长相等,所以,O,S共线,且,
.
设球的半径为R,由得:.
球O的表面积.
故选:A.
7．答案：A
解析：由得,函数的周期为4,
又是奇函数,所以函数的图象关于对称,即,
因为,,令可得
令得:,所以,
故.
故选:A.
8．答案：B
解析：由题意,
由得,
当时,由,可知不是方程的解;
当时,,,
令,
则,
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减.
且,
当,;当,;
如图,作出函数的大致图象,
要使方程在上至少有3个不同的解,
则函数与直线有三个不同的交点.
故结合图形可知,
综上所述,实数m的取值范围是.
故选:B.
9．答案：BC
解析：对于A:易知,即,可得A错误;
对于B:由对数运算法则计算可得,即B正确;
对于C:易知,
所以,
当且仅当时,即时等号成立,即C正确;
对于D:易知,
当且仅当,且时,方程无解,故D错误.
故选:BC
10．答案：ACD
解析：由题意的最小正周期为,
得:,
对于,恒成立,则,
图象关于直线对称,代入,得到,
由于,取,则,
所以为偶函数,
当时,,所以,
所以的值域为,故B错误;
将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,故C正确;
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
得到的图象.
因为当时,,
所以得到的函数图象关于点对称,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：选项A,连接,,,正方体中易知,
P,N分别是,中点,则,所以,即,P,N,B四点共面,
当Q与重合时满足B,N,P,Q四点共面,
但Q是线段上的动点（不包含端点）,故A错误;
选项B,如图,取中点为Q,连接,,,
因为M,N分别是,中点,则与平行且相等,
故四边形是平行四边形,
所以,又P是中点,所以,所以,
平面,平面,所以平面,B正确;
选项C,如图,在平面上作于K,
过K作交BC或者于T,
因为平面⊥平面,交线为,平面,
所以⊥平面,
又平面,所以⊥,
因为,,平面,
所以平面QKT,
平面QKT截正方体截面为平行四边形,
当T与点C重合时,面积最大,此时,,面积为,
当Q与点无限接近时,面积接近于0,
过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为,C正确;
选项D,取的中点O,连接,则,
则平面,取的中点V,以为圆心,为半径作圆,
交,于X,Y,
则点H的轨迹为以O为圆心,2为半径的部分圆弧,
此时满足直线PH与直线AD夹角为,
如图,,故,
所以点H的轨迹长度为,D正确.
故选:BCD
12．答案：
解析：,故.
故答案为:.
13．答案：2
解析：由题意可得,
设直线与曲线的切点为,则
又切点在曲线上,所以,联立解得,即.
,设直线与曲线的切点为,
所以,又,
联立两式,解得.
故答案为:2
14．答案：
解析：设,,,由题意可知,,如图所示:
则直线的斜率,可知的方程为,
同理可得:的方程为,
联立方程,解得,即,
因为Q在C上,可知P,Q关于y轴对称,
且,可得,又因为,
联立,解得或（舍去）
故,所以椭圆的离心率为.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得:,
即,
,
,,
,又,;
（2）由正弦定理得:,
,,
,
在锐角中:,解得:,
,
,,
则.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设的中点为G,连接,,
为中点,,
又平面,平面,
平面;
为中点,,
平面,平面,
平面;
又,且,平面,
平面平面,
平面,故平面.
（2）设的中中点为O,的中点为H,连接,,
,,且,平面,
又平面平面,且平面平面,
平面,
又底面为等腰梯形,,
以O点为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴
建立如图所示的空间直角坐标系:
则:,,,,
,,,
设平面与平面的一个法向量分别为,,
即:,,可取,
即:,,可取,
记平面与平面的夹角为,
.
17．答案：（1）增区间为,减区间为
（2）证明见解析
解析：（1）函数定义域为R,
,令得:令得:.
函数的增区间为,减区间为.
（2）要证,即证:
令,,
设,则
在R上单调递减,且
当时,;当时,
故函数在上单调递增,在上单调递减
函数在处取得极大值也是最大值,.
则,即证.
18．答案：（1）
（2）或.
面积求出m的值,再利用韦达定理和,求出的值.
解析：（1）椭圆C的离心率为,且过点,
,联立解得:,.
椭圆C的标准方程为:.
（2）由（1）知:,,,记,,
当直线l的斜率为0时,A,M,N三点共线,不合题意;
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为:,
联立:,.
,.
,
.
即,
整理得:,
令,即,
解得:（舍）或,即,
.
由知:且,
当时,满足:,联立解得:,
当时,满足:,联立解得:,
综上,的取值为或.
19．答案：（1）是“H数列”,理由见解析
（2）或8
（3）证明见解析
解析：（1）,
当时,,
当时,符合上式,
.
对任意m,,且,
,
是“H数列”.
（2）,且数列是等比数列,
,且,
是“J数列”,
也为数列中的项,
令得,
,
且,
的所有可能取值为或8.
（3）设数列公差为d,故;对,有,
即,
当时,,,此时数列显然为“H数列”,
当时,,
取,则,,
当时,,符合题意,
当时,,符合题意,
,,
设,,即,
对,,且,
,
易知,
为数列中的项,
数列为“H数列”.