2025届湖南省浏阳市校联盟高三上学期12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2025届湖南省浏阳市校联盟高三上学期12月联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知，则， 已知，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由得，解得，即，
，
所以.
故选：C.
2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为，
所以，
即复数在复平面内对应的点为，
因此在第二象限.
故选：B.
3. 在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意：.
故选：B
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，
得，
所以.
故选：D.
5. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】圆的圆心为1,0半径，
圆心到直线的距离，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：D
6. 已知三棱锥侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，

，
由余弦定理得，
，则，
截球所得的圆的圆心为的中点，半径，
由于三棱锥的侧棱长相等，所以共线，且，
.
设球的半径为，由得：.
球的表面积．
故选：A．
7. 若定义在上的函数满足是奇函数，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2024D. 2025
【答案】A
【解析】由fx+2+fx=0得，函数的周期为4，
又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即，
因为，令x=2可得
令得：，所以，
故.
故选：A.
8. 是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，
由得，
当时，由，可知不是方程的解；
当时，，，
令，
则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
且，
当；当；
如图，作出函数的大致图象，
要使方程在上至少有3个不同的解，
则函数与直线有三个不同的交点.
故结合图形可知，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A：易知，
即，可得A错误；
对于B：由对数运算法则计算可得，即B正确；
对于C：易知，
所以，
当且仅当时，
即时等号成立，即C正确；
对于D：易知，
当且仅当，
且时，方程无解，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A. 函数为偶函数
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】由题意的最小正周期为，
得：，
对于恒成立，则，
图象关于直线对称，代入，得到，
由于，取，则，
所以为偶函数，
当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象.
因为当时，，
所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使平面BMN
C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D. 点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】选项A，连接，，，正方体中易知，
P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面，
当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，
但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误；
选项B，如图，取中点为，连接，，，
因为M，N分别是，中点，则与平行且相等，
故四边形是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；
选项C，如图，在平面上作⊥于K，
过K作⊥交BC或者于T，
因为平面⊥平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面QKT，
平面QKT截正方体截面为平行四边形，
当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为，
当Q与点无限接近时，面积接近于0，
过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确；
选项D，取的中点，连接，则，
则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆，
交，于X，Y，
则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧，
此时满足直线PH与直线AD夹角为，
如图，，故，
所以点H的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等差数列的前项和，且，则__________.
【答案】
【解析】，故.
故答案为：.
13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
【答案】
【解析】由题意可得，
设直线与曲线的切点为，则
又切点在曲线上，所以，联立解得，即.
，设直线与曲线切点为，
所以，又，
联立两式，解得.
故答案为：2
14. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若的交点在上（均在轴上方），且，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】设，由题意可知，如图所示：
则直线的斜率，可知的方程为，
同理可得：的方程为，
联立方程，解得，即，
因为在上，可知关于轴对称，
且，可得，又因为，
联立，解得或（舍去）
故，所以椭圆的离心率为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在锐角中，角的对边分别为，已知
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
解：（1）由正弦定理得：，
即，
，
，
，又；
（2）由正弦定理得：,
,
，
在锐角中：，解得：，
，
,，
则
16. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面.
（1）若分别为的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：设的中点为，连接，
为中点，，
又平面平面，
平面；
为中点，，
平面平面，
平面；
又，且平面，
平面平面，
平面，故平面.
（2）解：设的中中点为的中点为，连接，
，且，平面
又平面平面，且平面平面，
平面，
又底面为等腰梯形，，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系：
则：
设平面与平面的一个法向量分别为
即：，可取，
即：，可取，
记平面与平面的夹角为，
∴csθ=cs=m⋅nmn=57.
17. 已知函数，其中.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.
（1）解：函数定义域为
，令f'x>0得：令f'x0；当x∈0,+∞时，hxb>0的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值.
解：（1）椭圆的离心率为，且过点，
，联立解得：.
椭圆的标准方程为：.
（2）解：由（1）知：，
记Mx1,y1y1>0,Nx2,y2，
当直线的斜率为0时，三点共线，不合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，
联立：，.
，.
，
即，
整理得：，
令，即，
解得：（舍）或，即，
.
由知：且，
当时，满足：，联立解得：，
当时，满足：，联立解得：，
综上，的取值为或.
19. 给定数列，若对任意且是中的项，则称为“数列”；若对任意且是中的项，则称为“数列”.
（1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，求公比的所有可能取值；
（3）设等差数列的前项和为，对任意是数列中的项，求证：数列是“数列”.
（1）解：，
当时，，
当时，符合上式，
.
对任意，且，
，
是“数列”.
（2）解：，且数列是等比数列，
，且，
是“数列”，
也为数列中的项，
令得，
，
且，
的所有可能取值为或8.
（3）证明：设数列公差为，故；对，有，
即，
当时，，此时数列显然为“数列”，
当时，，
取，则，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
，
设，即，
对，且，
，
易知，
为数列中的项，
数列为“数列”.