2024~2025学年湖南省岳阳市岳阳县高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年湖南省岳阳市岳阳县高三上学期12月月考数学试卷【有解析】，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“直线与圆：相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件
4．已知向量，满足，，，则（ ）
A．2B．C．4D．16
5．已知，都是锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①，且；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.
A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题
7．已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围（ ）
A．0,+∞B．1,+∞
C．D．
8．已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，在区间上的零点个数为（ ）
A．466B．467C．932D．933
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．不共线，且，则.
B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
C．已知，则在上的投影的坐标为
D．已知点为的垂心，则
10．如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（ ）.
A．
B．
C．若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为
D．的最小值为
11．如图，函数的部分图象，则（ ）

A．
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
12．如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ）

A．当时，直线与所成角的余弦值为
B．当时，四面体的体积为
C．当且面时，
D．当时，
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 .
14．已知，且，则 .
15．一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 .
16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.
(1)证明：数列为等比数列，并求实数的值；
(2)若，数列前项和为，求证：；
(3)当时，设集合，.集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面.

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
19．已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；
(3)求使得不等式成立的的最大值．
20．已知函数．
(1)当时，判断在上的单调性，并说明理由；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：．
21．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.
(1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；
(3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.
22．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】，则，
所以复数的共轭复数的虚部是.
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】圆：的圆心为，半径为，
若直线与圆相切，则，解得或，
且是的真子集，
所以“”是“直线与圆：相切”的充分不必要条件．
故选：A.
4．【正确答案】C
【详解】由，得，而，
因此，所以.
故选：C
5．【正确答案】D
【详解】由题意，又，
所以，即，
所以，所以.
故选：D
6．【正确答案】A
【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解.
【详解】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：，
摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，，
摸次甲获胜概率： ，
所以，
所以，
第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，
则，故①正确；
由，设，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以，即，
即，即，即，
则，即，解得，
所以不小于1992，所以②正确.
故选A.
【思路导引】本题解题关键是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得其概率是等比数列，从而得到，利用数列求和和极限的知识进行求解.
7．【正确答案】D
【详解】时，，
若无解，则或；
时，，
若无解，则，
则.
故选：D．
8．【正确答案】B
【详解】方法一：由函数，可得函数的周期为，
因为，可得，
又由函数在区间上有且仅有一个零点，
且满足，且，可得，
即，且，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以；
当时，，解得，此时解集为空集，
综上，实数的取值范围为.
所以，得，
，则，解得，
令，则有，
解得，即，
因为，所以共有467个零点.
方法二：由函数，可得函数的周期为，
因为，可设，则，
又函数在区间上有且仅有一个零点，
，可得，所以，则由图象性质，
可知，得，即.
或者，得，即.
所以最大为，得.
，则，解得.
令，则有，
解得：，即，
因为，所以共有467个零点.
故选B.
9．【正确答案】BD
【详解】选项A：不共线，且，
则，则
即.判断错误；
选项B：向量，且与的夹角为钝角，
则，解之得或或
则的取值范围是.判断正确；
选项C：在上的投影向量为
，
则在上的投影的坐标为.判断错误；
选项D：点为的垂心，则,
则，
则，
由可得
，
则，
即，
由，可得
，
则,
即，
故.判断正确.
故选：BD
10．【正确答案】AD
【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设，则，
因为，则，解得.
对于选项A：因为，且，
可得，
则，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项C：因为，
例如平面过的中点，且与平面平行，
则到平面的均为距离，符合题意，此时平面的法向量，
可得，
此时直线与的夹角正弦值为，故C错误；
对于选项D：设，
则，，
若取到最小值，则，
可得，解得，
则，，
所以的最小值为，故D正确；
故选：AD.
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以，A正确；
对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；
对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此在区间上单调递增，C正确.
对于D，函数的图象对称轴为，
当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，
此时，，当为偶数时，，而，
当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；
当或时，
函数在上单调，最大值与最小值的差最大，
，当或时均可取到等号，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】ACD
【详解】由题意可知是边长为6的等边三角形，，，.
时，为的中点，取得，为直线与所成角或其补角，
又根据余弦定理可得，
再根据余弦定理可求得,
所以,，.则，
故A正确；
在中，，，得，
，且，则四面体的体积为.
，为的中点，为的中点，故四面体体积为四面体体积的四分之一，得四面体体积为，故B错误；
对于CD选项：
【法一】当时，取的中点，则，所以面
过作交于，所以面，
此时为的中点,又因相较于点，
所以面面，
得面，所以，故C正确；
当时，，
在面内过作交于，

则面，面，
故此时得到的，
中，，
由余弦定理得，，，
得，则，故D正确.
故选：ACD.
【法二】则以为坐标原点，过点与垂直的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得
，，，
，，
，
得，，
，
对于C，，则，，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，，可取.
面时，得，
解得.故C正确.
对于D，，
由得，，.故D正确.
故选：ACD.
13．【正确答案】
【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解.
【详解】因为的定义域为，
，
所以为奇函数.因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为为上的奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以不等式即为，则.
因为，所以，即.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
【关键点拨】本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式.
14．【正确答案】或
【详解】因为，整理得到，
解得或，所以或，
故或.
15．【正确答案】
【详解】标有数字的4只球排序共有种情况.
要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：
①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.
②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，
其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.
故答案为.
16．【正确答案】
【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为，
记边上的切点分别为，
由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又.
则，又，则，即.
同理可得，的内切圆也与轴相切于点.
连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接，
过点作，记垂足为，则.
设直线倾斜角为，则.
在四边形中，注意到，又四边形内角和为，
则，在中，，
，
则，
则直线斜率，即.
故答案为.
17．【正确答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意得，
两式相减可得，
令可得，即.
令可得，即，所以
又.
数列an为首项为4，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知，所以.
，
要证成立，
只需证，即
令，
当x∈0,+∞时，单调递增,
故，
；
（3）时，集合，
即，
中元素个数等价于满足的不同解的个数，
如果，则，矛盾；
如果，则，矛盾
，
又，
，
即，共个不同解，所以.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）法一：证明：如图所示，取中点，为等边三角形，，

又面垂直于底面，交线为，
得面，
又面.
底面为直角梯形，，，
，，，
所以，，，
所以，得，
又，得面，面，所以.
法二：取中点，为等边三角形且垂直于底面，交线为，
则，得面，
又因为，，，
可设，
则以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，

得，，，
得，，
所以，
得.
（2）法一：由（1）知面，
不妨设，则，
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，

得，，，
，，；
设平面的一个法向量为，
则，，
可取；
设平面的一个法向量为，
则，即，
可取.
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
法二：不妨设，
为等边三角形且垂直于底面，交线为，

底面为直角梯形，，，
所以面，
又，得面，
面，得面面，交线为，
取的中点，则，
等边边长为2，则，
，则面，
则点到面的距离等于点到面的距离为，
因为面，面，，均为直角三角形，，
得，，.
作，可得，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
19．【正确答案】(1)
(2)存在，
(3)4
【详解】（1）因为①，②，
②-①得，∴，而，∴，
∴成首项为，公比为的等比数列，∴．
（2）假设存在实数，使得数列是等差数列，
∴
为常数，
∴，解得，
∴存在使成等差数列，且公差为．
（3）由（2）知，
∴，∴不等式，即，
令，则，
∴在上单调递减，注意到，，
∴时，，∴．
20．【正确答案】(1)在上单调递减，理由见解析;
(2);
(3)证明见解析
【详解】（1）在上单调递减，理由如下：
当时，，
，，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，
所以，所以在上单调递减.
（2）当时，恒成立①，
当时，②，
，设，
时,，
，设，
当时，，
，
要使①恒成立，由于②，则需恒成立，
所以恒成立，所以，.
此时，
在0,+∞上单调递增，，
在0,+∞上单调递增，，
在0,+∞上单调递增，
使得恒成立.
综上所述，的取值范围是.
（3）由（2）可知，当，时，恒成立，
即时，恒成立，
下证：，
时，
，
由上述分析可知，，即，则，
所以
，
，即得证.
21．【正确答案】(1)平均数为123，第60百分位数为125；
(2)分布列见详解，方差为
(3)6
【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
；
，
故第60百分位数落在内，设其为，
则，
解得，故第60百分位数为125；
（2）一级口罩与二级口罩的个数比为，
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，
则一级口罩有个，二级口罩有个，
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2，
，，，
故的分布列如下：
数学期望为，
方差为；
（3）的所有可能取值为，
，
，
，
故，
令，设，则，
因为，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，取最大值.
22．【正确答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析，
【详解】（1）由题意得，又，解得，
椭圆的标准方程为
（2）（i）由（1）可得，
连接，因为，，
所以，
，
，所以，
所以直线的方程为，联立，
解得或（舍去），
.
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又，A−2,0，直线的方程为，
由，解得，
所以，
由，得，
由，
则，所以，
则，
，
依题意、不重合，所以，即，
所以，
直线的方程为，
令即，解得，
，
，
为定值.
0
1
2