2024~2025学年湖南省衡阳市衡阳县高三上学期10月月考数学试卷

这是一份2024~2025学年湖南省衡阳市衡阳县高三上学期10月月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示集合为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，（其中为虚数单位，）. 若纯虚数，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
3. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4. 三个数，，的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
8. 已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到个次品都找到为止，则经过次测试恰好将个次品全部找出的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知函数fx=Asinωx+φ部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
10. 已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则的最大值为7D. 取最大值时，
11. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人从左向右排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 若甲、乙相邻，则不同的排法有240种
B. 若丙、丁相隔一个，则不同排法数有96种
C. 若甲不在排头，乙不在排尾，则不同的排法有504种
D. 甲排在乙，丙左边的概率为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的二项展开式中的常数项为________．（结果用数字表示）
13. 过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________.
14. 若，，平面内一点P，满足，的最大值是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知递增等比数列满足，是与的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，G到平面的距离为1，.
（1）证明：平面；
（2）证明：是直角三角形；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望；
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布， 其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 ，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式： 则 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线交于两点，．求的值．
19. 已知函数，在点处切线方程．
（1）求实数的值；
（2）讨论的单调性；
（3）设为两个不相等正数，且，证明：．