黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三下模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
2. 已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（ ）
3. 已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（ ）
4. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ）

5. 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
6. 已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（ ）
7. 已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
8. 在正四棱柱中，，，分别是平面和上一点，且，，记异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ）
10. 已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
11. 设函数，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知和均为等差数列，，则数列的前50项和为___________．
13. 函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______.
14. 将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值．
17. 如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点．
(1)求新的几何体的体积；
(2)记与底面所成角为，求的取值范围．
18. 如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和.
(1)求“黄金抛物线”的方程；
(2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程；
(3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数在上的最小值为0
(1)求实数的值：
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：
(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：
黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面解析几何、平面向量、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、函数与导数、三角函数与解三角形、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．1
B．0
C．6
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．1
C．
D．2
A．众数平均数中位数
B．众数中位数平均数
C．众数平均数中位数
D．中位数平均数众数
A．
B．
C．
D．
A．9π
B．4π
C．
D．3π
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．函数图像的一条对称轴为直线
C．函数在区间上是增函数
D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
A．
B．
C．
D．
A．当时，没有零点
B．当时，在区间上不存在极值
C．存在实数，使得曲线为轴对称图形
D．存在实数，使得曲线为中心对称图形
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
9
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
已知复数的类型求参数；复数的除法运算
2
0.85
判断命题的充分不必要条件；由一元二次不等式的解确定参数；已知斜率求参数
3
0.85
数量积的运算律；求投影向量
4
0.94
由频率分布直方图估计中位数；由频率分布直方图估计平均数；根据频率分布直方图计算众数
5
0.65
求平面轨迹方程；求椭圆的焦点、焦距
6
0.65
多面体与球体内切外接问题；球的表面积的有关计算
7
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式；简单复合函数的导数
8
0.4
正弦定理解三角形；求异面直线所成的角
二、多选题
9
0.85
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式；辅助角公式；求sinx型三角函数的单调性
10
0.65
椭圆定义及辨析；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；由双曲线的离心率求参数的取值范围
11
0.4
判断或证明函数的对称性；函数极值的辨析；求函数零点或方程根的个数
三、填空题
12
0.85
求等差数列前n项和；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算
13
0.85
正弦函数图象的应用；由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
14
0.65
计算古典概型问题的概率；分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；已知数量积求模；用和、差角的正弦公式化简、求值；余弦定理解三角形
16
0.85
写出简单离散型随机变量分布列；建立二项分布模型解决实际问题；求离散型随机变量的均值
17
0.65
求线面角
18
0.65
抛物线中的直线过定点问题；根据韦达定理求参数；由直线与圆的位置关系求参数；根据抛物线上的点求标准方程
19
0.4
已知函数最值求参数；利用导数证明不等式；用导数判断或证明已知函数的单调性；由递推数列研究数列的有关性质
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
等式与不等式
2
4
平面解析几何
2,5,10,18
5
平面向量
3,15
6
计数原理与概率统计
4,14,16
7
空间向量与立体几何
6,8,17
8
函数与导数
7,11,19
9
三角函数与解三角形
8,9,13,15
10
数列
12,19