上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期三模数学试题（含答案解析）

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一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 已知集合，，则______．
2. 若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为______．
3. 设，i为虚数单位，若为纯虚数，则______.
4. 不等式的解集为______．
5. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：）
56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______
6. 同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则________．
7. 如图，矩形中，为AD的中点，，，连接EB，EC，若绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为__________.
8. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________．
9. 已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为______．
10. 已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______．
11. 某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米．
12. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ）
14. 如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）

15. 某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述：
①；
②；
③
④前天甲午餐总费用的数学期望为.
其中正确的是（ ）
16. 定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立.有下列两个命题：
命题①：函数在定义域内是增函数；
命题②：对任意，都有成立.
则下列说法正确的是（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．
(1)证明：平面．
(2)若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数，
(1)当时，解不等式；
(2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围．
19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
(1)当时，
（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
20. 已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)求证：为定值；
(3)求的取值范围.
21. 设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”．
(1)判断是否为上的函数，说明理由；
(2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围；
(3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立
上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期三模数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面解析几何、三角函数与解三角形、复数、不等式选讲、计数原理与概率统计、平面向量、空间向量与立体几何、函数与导数、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
A．①真②真
B．①真②假
C．①假②真
D．①假②假
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
4
较易
5
适中
8
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
交集的概念及运算；分式不等式；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
直线的倾斜角；直线法向量的概念及辨析；反三角函数
3
0.85
已知复数的类型求参数；复数代数形式的乘法运算
4
0.85
公式法解绝对值不等式
5
0.94
总体百分位数的估计
6
0.85
用定义求向量的数量积；求投影向量
7
0.94
圆锥表面积的有关计算；求组合旋转体的表面积；圆柱表面积的有关计算
8
0.65
正弦函数图象的应用；根据极值点求参数
9
0.65
定点到圆上点的最值（范围）；椭圆定义及辨析；求椭圆中的最值问题
10
0.65
由递推数列研究数列的有关性质；组合数的计算
11
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；面积、体积最大问题；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；根据抛物线上的点求标准方程
12
0.4
三角形面积公式及其应用；用定义求向量的数量积
二、单选题
13
0.85
基本不等式求和的最小值
14
0.94
椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系；双曲线离心率大小与双曲线形状的关系
15
0.4
求离散型随机变量的均值；构造法求数列通项；求等比数列前n项和
16
0.15
定义法判断或证明函数的单调性；函数不等式恒成立问题；求指数函数在区间内的值域
三、解答题
17
0.65
证明线面平行；线面角的向量求法
18
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；根据函数的单调性解不等式
19
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；计算条件概率；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
20
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围；双曲线中的定值问题
21
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；函数新定义；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1,13
3
平面解析几何
2,9,11,14,20
4
三角函数与解三角形
2,8,12
5
复数
3
6
不等式选讲
4
7
计数原理与概率统计
5,10,15,19
8
平面向量
6,12
9
空间向量与立体几何
7,17
10
函数与导数
8,11,16,18,21
11
数列
10,15