辽宁省锦州市某校2024-2025学年高三下学期第五次模拟数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知，，则（ ）．
2. 已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
3. 已知 ，且，则（ ）
4. 已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）
5. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）

6. 已知等差数列的公差，是其前项和，若，，成等比数列，且，则的最小值是
7. 已知函数，则的解集为（ ）
8. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）

二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
11. 如图，是某同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______．
13. 渤大附中校园景色优美，道路和楼宇的命名都蕴含着深远的意义，值得同学们在三年的时光里驻足留意.小陈､小张等6位即将毕业的同学在知博楼､君子路､红色文化广场､三到园4个标志性场所中各选择一个拍照留念，若每个地方至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一处地方拍照，且小陈､小张不在同一个地方拍照，则不同的拍照方式共有__________种.（用数字作答）
14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点.
（1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为______；
（2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
16. 如图，在三棱柱中，平面，，分别是的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.
17. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
(1)求及的分布列．
(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​）
18. 已知直线与椭圆交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若射线与椭圆，直线分别交于 两点，且成等比数列.
（i） 求点到直线的距离的最大值;
（ii） 当直线与轴垂直时，求的外接圆方程.
19. 已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形；
(3)证明：.
辽宁省锦州市某校2024-2025学年高三下学期第五次模拟数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、三角函数与解三角形、等式与不等式、平面向量、计数原理与概率统计、数列、平面解析几何、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．1
C．
D．
A．事件A发生的概率
B．事件B发生的概率
C．事件C不发生条件下事件A发生的概率
D．事件A，B同时发生的概率
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．2
A．若一组数据的方差为，则所有数据都相同
B．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
C．已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
A．
B．数列为等比数列
C．数列为等比数列
D．数列为等比数列
A．曲线与直线最多存在3个交点
B．存在a，使得曲线是偶函数的图象
C．当时，曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数
D．若曲线如题图所示（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向），则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
11
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；具体函数的定义域；复杂（根式型、分式型等）函数的值域
2
0.85
复数的坐标表示
3
0.65
用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
4
0.65
条件等式求最值；数量积的坐标表示；求投影向量
5
0.85
利用对立事件的概率公式求概率；条件概率性质的应用
6
0.65
确定数列中的最大（小）项；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
7
0.65
函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式；对数的运算性质的应用
8
0.65
求椭圆的长轴、短轴；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；由正弦（型）函数的周期性求值；圆柱的展开图及最短距离问题
二、多选题
9
0.85
独立性检验的概念及辨析；总体百分位数的估计；残差的计算
10
0.65
求等比数列前n项和；利用an与sn关系求通项或项；由定义判定等比数列
11
0.4
利用导数研究函数的零点；判断零点所在的区间；函数奇偶性的定义与判断
三、填空题
12
0.85
求指定项的系数；二项展开式各项的系数和
13
0.65
组合数的计算；分组分配问题；排列数的计算
14
0.65
锥体体积的有关计算；求平面轨迹方程
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
16
0.65
证明线面平行；证明线面垂直；线面角的向量求法
17
0.65
求离散型随机变量的均值；均值的实际应用；由定义判定等比数列；均值的性质
18
0.4
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；求椭圆中的最值问题；根据a、b、c求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数
19
0.4
判断或证明函数的对称性；利用导数证明不等式；复合函数的定义域；已知切线（斜率）求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,7,11,19
3
复数
2
4
三角函数与解三角形
3,8,15
5
等式与不等式
4
6
平面向量
4
7
计数原理与概率统计
5,9,12,13,17
8
数列
6,10,17
9
平面解析几何
8,14,18
10
空间向量与立体几何
8,14,16