重庆市九龙坡区2024-2025学年高二上学期教学质量全面监测数学试题（解析版）

这是一份重庆市九龙坡区2024-2025学年高二上学期教学质量全面监测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 5
【答案】B
【解析】因为向量，，且，
所以，
即，解得：.
故选：B.
2. 已知直线：，：，若，则与之间的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】因为直线：，：，且，
所以，可得，所以，，
所以它们的距离为.
故选：A.
3. 若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】椭圆的焦点为，
抛物线（）开口向左，焦点为，
所以准线方程为.
故选：D.
4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 240B. 180C. 120D. 60
【答案】C
【解析】记等差数列的公差为，
由得，
故.
故选：C.
5. 已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设Px,y，因为，则，
整理得.
故选：B．
6. 已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，第一象限的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为点，若，且点在直线上，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，得，∴F0,1，
设，则，
∵，故，则，解得，∴，
故直线的倾斜角为.

故选：C.
7. 已知等比数列的前项和为，且，其中，若在与之间插入5个数，使这7个数组成公差为的等差数列，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】因为，当时，，
两式相减，得，即，故公比为2，
所以，而当时，得，
所以等比数列的通项公式为，，
所以，，所以所求的公差为．
故选：D.
8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，由代入椭圆方程得，
不妨设，则切线，
即，切线的斜率，
直线的斜率，
则，所以.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点，，直线：，圆：.则下列说法正确的是（ ）
A. 若圆关于对称，则
B. 若直线与直线垂直，则点在直线上
C. 直线与圆相交的最短弦长为
D. 圆上有且仅有2个点到直线距离为
【答案】BCD
【解析】圆：的圆心为，半径为2，
若圆关于对称，则圆心在上，所以，解得，故A错误；
由点，知，若直线与直线垂直，则，
此时：，由知圆心在上，故B正确；
由题意直线的方程可变形整理为，
由解得，则无论为何值，直线过定点，
又因为，所以定点在圆的内部，则直线与圆恒相交，
当截得的弦长最短时，，此时弦长为，故C正确；
由点及得直线方程，即，
因为圆心到直线的距离为，
所以圆上有且仅有2个点到直线距离为，故D正确.
故选：BCD.
10. 设数列的前项和为，已知，（），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为等比数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】由（），得，又，则，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，故B选项正确；
所以，则，可得，故A选项正确，C选项错误；
由，则
两式相减，得，
所以，，
故D选项正确.
故选：ABD.
11. 已知过抛物线：的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，为圆：上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 存在两个点，使得
【答案】ACD
【解析】依题意可设，
直线的方程为，
与抛物线方程联立可得，
因为，所以，，
所以，
则，
当时，有最小值4，故A正确；
根据可得，
可确定的最小值为，故B错误；
由题意得，由于，故，
，
因为，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，故C正确；
若，根据可得，则点A在线段的中垂线上，
因为，所以的中点为，，
所以线段的中垂线为，即，联立，
得，其判别式，
所以线段的中垂线与抛物线有两个交点，故存在两个点，使得，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】由点到直线的距离公式得，
所以点到直线的距离为.
13. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角余弦值为___________.
【答案】
【解析】在直三棱柱中，.
如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由，，
得，
，
因此，
由异面直线与所成角范围为，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】
【解析】方法一：依题意，设，则，
在中，，则，
故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，
整理得，故.
方法二：依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列前项的和，求.
解：（1）由题意设等差数列的公差为，
由题意，解得，所以.
（2），
所以数列的前50项和，
所以.
16. 已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程.
解：（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则，
因为双曲线：（，）的一条渐近线为，
点到双曲线的渐近线的距离为，所以，
所以，所以，所以双曲线的方程是；
（2）易知直线的斜率存在设为，设Ax1,y1、Bx2,y2、，
联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得．
由且，得且．
由韦达定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，点M的轨迹方程为，其中或．
17. 如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．
（1）证明：已知底面，且底面，
所以，因为，，所以，
又，可得为等边三角形，
又为的中点，所以，又，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）解：在中，，，所以，
由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，则，
因为底面，且底面，所以，
由，可得，又，，平面，
所以平面，可知是平面的一个法向量，
又，，
设平面的一个法向量为，则，得，
即，令，得，
设平面与平面的夹角为，，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
18. 已知数列满足，，的前项和为．等差数列满足，，且前项和为．
（1）求数列和通项公式；
（2）若对，有恒成立，求实数的最小值；
（3）设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和．
解：（1）由题可知，当时，；
当时，得，
因为，两式相减得，
经检验，当时，，则，，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，，等差数列的公差.
所以.
（2）由（1）可得，
对，有恒成立，即，即，
令，则，
当且时，，即，可得；
当且时，，即，可得，
所以，数列中的最大项为，则，
因此，实数的取值范围是.
（3）由（1）可知，，，
因，所以为奇数，
故为区间的奇数个数，
显然，为偶数，所以，
所以
.
19. 设，分别为椭圆：（）的左，右焦点，且，点在椭圆上，直线与椭圆相交于，两点（，不与椭圆的顶点重合）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率存在，且以为直径的圆经过原点，求证：直线与圆：相切；
（3）若直线过点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值．
解：（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为.
由已知，，即，因为点在椭圆上，所以，
又，所以，，
所以，解得（负根舍去），所以，
所以的标准方程是；
（2）当直线有斜率时，设直线的方程为，
以 AB为直径的圆经过原点，即，
设 ，所以，
联立方程，得，
即，
，
化简得，设到直线距离为，则，
所以直线与圆相切.
（3）设直线的方程为，代入椭圆方程，得，
即.设点，
则.
因点关于轴对称，则.设点，
因为三点共线，则，即，
即，即，
得
所以点为定点，，
.
令，
则，
当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为.