重庆市九龙坡区2024-2025学年高一上学期教育质量全面监测数学试卷（解析版）

这是一份重庆市九龙坡区2024-2025学年高一上学期教育质量全面监测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由于，故，解得.
故选：C.
2. 若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】由幂函数的定义，得，解得或.
若，则，为奇函数，其图象关于原点对称，符合题意；
若，则，定义域为，且，
所以为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，舍去.
故选：D.
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于在单调递增，
又，，即，
函数的零点所在区间是.
故选：B．
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由解得或，
因为是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知命题，；命题，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题，，，命题为真命题，
对于命题，，，
当且仅当时，即当时，等号成立，则命题为假命题，故命题为真命题，
所以和都是真命题.
故选：B.
6. 已知为偶函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】因为偶函数，
则
，
又因不恒为0，故，解得.
故选：A.
7. 已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数，作出函数的大致图象如图：
由有三个不同的零点，
即函数的图象与有三个不同的交点，
结合图象，可得，即实数的取值范围是.
故选：D.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
由可得，
由于，故，故，
因此，由可得，
因此，综上可得.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列与角终边可能相同角是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为，所以或，
所以与角终边可能相同，
与角终边不相同，故C正确，D错误；
令或，
在中，令得，
所以与角终边不相同，与角终边可能相同，故B正确，A错误.
故选：BC.
10. 已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由可得
得，
故，A错误，
，B正确，
，C正确，
，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为增函数
C. 为奇函数
D. 若，当时，有解，则取值范围是
【答案】ABD
【解析】A选项，中得，
解得，
中得，
故，A正确；
B选项，当时，，
中，令，
且得，
因为，所以，故，
所以，所以为增函数，B正确；
C选项，中，令得，
故，故不是奇函数，C错误；
D选项，两边加1得，
因为，，
所以，
当时，有解，
即时，有解，
由B知，在R上单调递增，故，
在上有解，
在上有解，
其中，
，故当，即时，取得最大值，
最大值为，所以，
则取值范围是，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，则_____.
【答案】
【解析】，故.
13. 已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数.若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据：
【答案】40
【解析】由题意可得，两式作比可得，解得，
可得，令，解得.
14. 已知均为正实数，若，则的最小值为_____.
【答案】25
【解析】由可得，代入中，
可得，
设，则，
于是，
因，当且仅当时，等号成立，
即时，取得最小值25.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知点是角的终边上一点，求和的值；
（2）已知为锐角，且，求的值.
解：（1）由于点是角的终边上一点，故，
故，.
（2）由可得，
由于为锐角，故，进而，
所以.
16. 已知函数且在区间上的最大值为1.
（1）求的值；
（2）当在定义域内是减函数时，令，求的定义域和值域.
解：（1）当时，在单调递增，故，故，
当时，在单调递减，故，故.
（2）在定义域内是减函数时，则，
，
故的定义域满足，解得，
故定义域为，
，
由于，故，
故，
故值域为.
17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
解：（1）由可得：
当时，，符合题意，
当时，令，可得，
综上可得.
（2）由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，，，
故
，
当且仅当，即时等号成立.
由于，
所以，隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米.
18. 已知定义在R上的奇函数，其中.
（1）求的值，并用定义证明函数的单调性；
（2）求不等式的解集；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）为定义在R上的奇函数，
故，解得，
故，
由于，满足为奇函数，
综上，，
单调递增，理由如下：
任取，且，
，
因为，在R上单调递增，故，
故，，
所以为R上的单调递增.
（2），
化简得，
令，故，
即，解得，
故，解得，
不等式解集为.
（3）对任意的，总存在，使得成立，
故在上的值域包含在上的值域，
由（2）知，在上单调递增，
故，
，若，则，
此时，
不能满足在上的值域包含在上的值域，舍去；
当时，在上单调递增，
故，
由得，
解得，
故实数的取值范围为.
19. 已知函数的定义域为，给定，设，若存在使得，则称为函数的一个“点”.
（1）判断是否存在“点”，并说明理由:
（2）若，讨论的“点”的个数；并在存在“点”前提下，求出所有的“点”；
（3）若，若为函数的一个“点”，证明：.
解：（1）0为的“点”，理由如下：
由题，函数的定义域为，
假设存在“点”，即对于给定，存在，
使得，
即，故，
两边平方得，即，
由于，故，
所以0为的“点”.
（2）由题可知使在时有解的的个数即为的“点”的个数，
整理得，由得，故，即存在唯一“点”，
故存在唯一的“点”，为.
（3），，
，，
其中，解得，
由题得在时有解，
即，等式两边平方得，
即，又，故，
两边平方得，
整理得，
因为，所以，
即为函数的一个“点”的充要条件是在时有解，
且满足恒成立，
由于在时单调递增，故，
其中，由得，
由得，即，
显然上式恒成立，
由得，
其中，故，解得，
故.