内蒙古呼和浩特市旗县四校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古呼和浩特市旗县四校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在空间直角坐标系中，已知点，，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】依题意，，所以.
故选：B.
2. 若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】由椭圆方程可知，解得.
又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，
所以M到另一个焦点的距离为.
故选：B.
3. 如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
，
故选：A.
4. 若直线与直线平行，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 1或
【答案】C
【解析】直线与直线平行，
故，解得，
故选：C.
5. 为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ）
A. 18B. 150C. 36D. 54
【答案】C
【解析】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，
分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况，
根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故共有：36种分派方法，
故选：．
6. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
7. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）.
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】∵直线方程为，化为一般式得，
∴原点到直线的距离为，
∴，即，将代入得：，
∴，得，
解得或，
∵，∴（舍去）.
故选：D.
8. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】设，
因为，所以，
过点分别作准线于点，，
由抛物线定义可知，
由梯形中位线可知，

因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
故，
故，的最小值为.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
【答案】ABD
【解析】对于A，，，
，A正确；
对于B，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
故选：ABD.
10. 甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A. 若甲和乙相邻，共有种排法
B. 若甲不排第一个共有种排法
C. 若甲与丙不相邻，共有种排法
D. 若甲在乙的前面，共有种排法
【答案】ACD
【解析】甲、乙、丙等人排成一列，
对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，
共有种排法，A对；
对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，
共有种，B错；
对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，
然后将甲与丙插入人所形成个空中的个空，
所以，共有种排法，C对；
对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余个人全排，共有种排法，D对.
故选：ACD.
11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线围成的图形有4条对称轴
B. 曲线C围成的图形的周长是
C. 曲线C上的任意两点间的距离最大值是
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
【答案】ACD
【解析】当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
所以曲线的图象如图所示，
对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确；
对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误；
对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确；
对于D，到直线的距离，
点到直线的距离为，
由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______．
【答案】10
【解析】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，
即，解得：.
13. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意得的展开式的通项为，
所以的展开式中，含的项为，
所以展开式中含的项的系数为.
14. 已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设，，点为线段的中点，
有，得，
在圆上，满足圆的方程，则有，
化简得点轨迹方程为，
点轨迹为以为圆心，1为半径的圆，如图所示，
，所以的最小值为.
四、解答题（共77分．第15题13分，第16、17题每题各15分，第18、19题每题各17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
解：（1）因为
所以令，则有，即.
（2）因为展开式中所有项的二项式系数之和为1024，
所以有，所以.
（3）由（2）可得，
其展开式的通项公式为，
所以是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正，
又当时，，
所以.
16. 已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为.
（1）求的值；
（2）求过点并与圆相切的切线的一般式方程.
解：（1）由已知圆，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以弦长为，
解得或（舍）；
（2）由（1）得，
则圆，圆心，半径，
则点在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
此时，解得，
则直线方程为，即；
当切线斜率不存在时，直线方程为，此时满足直线与圆相切，
综上所述，切线方程为或.
17. 已知点是双曲线上任意一点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）已知点，求的最小值．
解：（1）双曲线的渐近线方程为，
由在双曲线上，得，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为，
而，所以，
即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
（2）由（1）知，，则，解得或，
因此，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
18. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面AEF的夹角的余弦值．
（1）证明：取的中点O，连接,，
∵，，∴且，
∵，，∴，且,
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，平面，平面，∴平面.
（2）解：因为，，两两垂直，
故以为原点，,,分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，，，，，
设平面的法向量为，由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
有，，，
可得，
故平面与平面AEF的夹角的余弦值为．
19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆的方程；
（2）设直线是圆任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；
（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
解：（1）由椭圆，知.
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆.
（2）设，则.
直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在时，直线.
若，由，解得，
此时.
若，同理得：.
②当直线的斜率存在时，设.
由，得，
有，
又直线是圆的切线，故，可得.
∴，则，
而.
∴，即.
综上，恒有.
（3）是椭圆上的两个动点且，
设，则.
直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有.
∴，，且，
由，解得.
若直线的斜率都存在，设，则.
由，得，有；
同理，得.
于是，.
由，可得.
因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上.
∴该定圆方程为圆.