【数学】内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期中联考试题（解析版）

这是一份【数学】内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期中联考试题（解析版）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由直线与轴垂直，即其倾斜角为.
故选：B.
2. 设向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由，得，
∵，，∴，解得，
故选：D.
3. 过点且与直线垂直的直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1，
又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：，
即，故选：C.
4. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得
．
故选：D．
5. 两平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，所以，
则化为，
所以两平行直线与之间的距离为．
故选：C．
6. 用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种，其中偶数有，共4种，
所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为．
故选：C．
7. 正四面体的棱长为3，点为棱靠近点的三等分点，点为的重心，则线段的长为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】因为，
所以
，
所以．
故选：A．
8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：
因为，为中点，所以，
又，与交于点A，平面，平面，
所以平面，
以点为原点，，的方向分别为x，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
故，，
所以，
所以，
又，，
设平面的法向量，则，
令，则，，所以.
点到平面的距离为，
解得或（舍），
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则相互独立
D. 若相互独立，则
【答案】AC
【解析】对于A，若，则，A正确；
对于B，若，则事件互斥，
所以，B错误；
C选项，因为，
所以，
则相互独立，C正确；
D选项，若相互独立，则相互独立，且，
所以，D错误．
故选：AC．
10. 已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】由题意知直线在，轴上的截距存在且大于，
可设的方程为（，），
由直线过点，得，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
即，所以，
故选：CD.
11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ）
A. 若点在平面内，则
B. 若，则
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当时，长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于选项A，若点在平面内，
易知有，
所以，
又，则，故A正确；
对于选项B，由题意易得，
，
且，
又，即，
故，解得，故B正确；
对于选项C，由题易知四面体为正四面体，
设在平面内的射影为点，
则为的中心，易得，．
当时，到平面的距离为，
所以，
故C错误；

对于选项D，由B知，
，
又，
由基本不等式可知，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以长度的最小值为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若α//β，则__________.
【答案】
【解析】因为α//β，所以，则存在实数，使，
即，解得，所以
13. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为______．
【答案】
【解析】在中，连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外，
还有每个面上各有两条面对角线，共，还有4条体对角线，共28条线段，

其中它们所在的直线与平面平行的有共3条面对角线所在直线，
故这些线段所在的直线平行于平面的概率为．
14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______.
【答案】
【解析】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.
如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.
设，则解得即，
关于轴的对称点为，
故周长的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，正方体的棱长为2.

（1）用空间向量方法证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，即；
又，即，
又平面，所以平面；
（2）解：易知，则，
由（1）知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
16. 已知直线.
（1）求恒过的定点的坐标;
（2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围.
解：（1）整理直线的方程,得(,
联立方程组解得
所以直线恒过的定点的坐标为;
（2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意;
当时,,
因为经过第一、二、三象限，所以，
解得或
综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是.
17. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
解：取的中点，连接，显然，
由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，
又底面，所以，
因为中点，易得，
所以可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
，
故异面直线的夹角余弦值为；
（2）由上可知，
设面的一个法向量为，
则，
取，即，
易知面的一个法向量为，
由图象可知二面角为钝角，设其为，
所以，
则.
18. 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．
（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；
（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；
（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．
解：（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件，
所以，
即乙至少有1个回答正确的概率是．
（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件
所以
，
即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．
（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，
所以，
即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．
19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
（1）求经过的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
解：（1）由得，
直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
（2）由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
（3）因平面经过三点，
可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．