【数学】内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期末联考试题（解析版）

这是一份【数学】内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期末联考试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以抛物线方程为，，
因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为.
故选：D.
2. 已知数列的前n项和，则（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 27
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据已知条件，
：，化为：，
：，化为：，
因两圆相交，所以两圆方程相减得：，
所以直线的方程为：.
故选：A.
4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令和的夹角为，
则，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
5. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢，
故比赛6场后甲赢得比赛概率为：.
故选：B.
6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题知，，
因为点为在第一象限上的一点，所以，则，
又为直角三角形，所以不可能为，
若，则，
即，可得，无解，此时不存在，
所以，即，
所以，即，
所以，.
故选：C.
7. 过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】圆化为标准方程，
则圆心，半径，
由题意知，
解得，负值舍去，
在中，，且，所以，解得
故选：A.
8. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ）
A. 20B. 21C. 22D. 23
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由可得：，
则，，
故数列为递增数列，又，，
故使得成立的正整数n的最大值为21.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ）
A. 平行于轴的两条直线
B. 单位圆
C. 焦点在轴上的双曲线
D. 焦点在轴上的椭圆
【答案】BC
【解析】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误；
对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确；
对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当，且时，则，所以，
因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误.
故选：BC.
10. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. D. P，G，E，F四点共面
【答案】ABD
【解析】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，
则，，，，
设平面的法向量，则，令，得，
对于A，，且平面，则平面，A正确；
对于B，，平面，则平面，B正确；
对于C，，，，，
则，C错误；
对于D，由，
得，
即，则，，即，
因此，即四点共面，D正确.
故选：ABD.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为8
B. 存在点，使得
C. 点，的纵坐标之积为定值
D.
【答案】ACD
【解析】由题意，双曲线，可得，，则，
所以焦点，，设Px0,y0，则，且，即，
由，故A正确；
假设存在点，设Px0,y0，则，且，即，
所以
，
所以不存在点，使得，故B错误；
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，

由得，
又直线与相切，所以，整理得，
所以，即0，解得，
即点的纵坐标为.
不妨设直线与的交点为，与的交点为，
由，解得，即点的纵坐标为，
由，解得，即点的纵坐标为，
则点，的纵坐标之积为，故C正确；
因为，
所以点是线段的中点，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线：，直线：，若，则_____.
【答案】2
【解析】由直线：与直线：平行，得，解得，
所以.
13. 已知等差数列的前n项和为，若，，则_____.
【答案】21
【解析】依题意，成等差数列，而，，
因此，解得.
14. 设，分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：，
与椭圆：联立消去，得，
设，则，
因为，所以，可得，
代入上式得，消去并化简整理得：，
将代入化简得：，解得，
因此，该双曲线的离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是数列的前项和，若，是等差数列，.
（1）求；
（2）求数列的通项公式.
解：（1）设等差数列的公差为，由，得，
则，由，得，
解得，
所以.
（2）由（1）知，，
当时，，而满足上式，
所以数列的通项公式.
16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点是圆上的一点，求的取值范围.
解：（1）因为圆的圆心在直线上，可设，又圆过点，，
所以，
解得，所以，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）设，又点Px0,y0是圆上的一点，
所以直线与圆有公共点，所以，
解得，即的取值范围是.
17. 在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：由平面平面，平面平面平面，，
得平面，而平面，则，
由，为的中点，得，
又平面，
所以平面.
（2）解：过作直线，由平面，得平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，，得，，
则，令，
，
由四边形是平行四边形，得，
，设平面的法向量为，
则，令，得，
由（1）知平面的法向量，设平面与平面的夹角为，
于是，
整理得，而，解得，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.
18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
解：（1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有24种情况．
恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为
，，，，，，
故其概率为．
（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为
，，，，，，，
故其概率为．
（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为
，，，，，，
，，，
故其概率为．
19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点Px0,y0（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.
（1）求极线的方程；
（2）求证：；
（3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
（1）解：由椭圆的长轴长为，
则，解得，
又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
由题意可知，对于椭圆，
极点对应的极线的方程为，即.
（2）证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在，
故设直线，，
联立方程，消去得，，
，即，
所以，，
则
.
又，所以，得证.

（3）解：当中有横坐标为时，纵坐标为，
则或，
直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在.
由（2）得，，又，
所以，所以是和的交点.
因为，所以，设，
则，所以，直线的方程为，
即，
令得，所以恒过定点.