内蒙古呼和浩特市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年呼和浩特市高一年级质量数据监测

数学

一､选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：，则.

故选：A.

2. 已知函数，则的值是（    ）

A. 8 B. 4 C. -8 D. -4

【答案】A

【解析】

【分析】分段函数求函数值.

【详解】由题意可得， ，所以.

故选：A

3. 如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由斜二侧画法的规则分析判断即可

【详解】先作出一个正三角形，

然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

画对应的轴，使夹角为，

画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，

然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，

故选：A

4. 已知集合，，则B中所含元素的个数为（    ）

A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的形式，逐个验证的值，从而可求出集合中的元素.

【详解】因为，

所以时，；时，或；时，，或.

所以，所以B中所含元素的个数为.

故选：B.

5. 用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在性定理可判断出函数零点所在的区间，从而可得到方程近似根x所在的区间.

【详解】由题意，知，

所以函数的零点在区间内，即方程的一个近似根x所在区间为.

故选：B.

6. 如果且，那么直线不通过（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.

【详解】因为，所以，所以直线方程可化为．

因为且，所以同号，异号，从而有，

所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．

故选：C．

7. 已知，则函数的图像必定不经过（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.

【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，

且当越来越大时，图象与轴无限接近.

因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.

故选：A．

8. 如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（    ）

A. 平面 B. ，

C. ，平面平面 D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】A选项利用线面垂直（平面）可推出线线垂直（），B选项利用两组线线垂直（，）推出线面垂直（平面），再推出线垂直（），C选项利用面面垂直的性质定理可推出，D选项不能证明出.

【详解】平面，平面， ，故A选项可以证明，因此不选. ，，平面，平面，平面，.故B选项可以证明，因此不选.平面平面，平面平面，，由面面垂直的性质定理知平面.平面，，故C选项可以证明，因此不选.由D选项，并不能推出.

故选：D.

9. 下列函数图象中，函数的图象不可能的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

当时，验证正确. 当时，验证正确. 当时，验证正确.

【详解】当时，，定义域为关于原点对称.

，则为偶函数.

当时，.

则

即函数在上单调递增，则函数在上单调递减.

此时函数的图象可能为选项.

当时，，定义为且关于原点对称.

，则为偶函数.

当时，.

则

当时，即函数在上单调递减

当时，即则函数在上单调递增.

根据对称性可知，此时函数的图象可能为选项.

当时，，定义为关于原点对称.

，则为奇函数.

当时，.

则

令，则

即并且在上单调递增，并且在上单调递增.

根据对称性可知，此时函数的图象可能为选项.

故选：C

【点睛】本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.

10. 已知直线平面，直线平面，给出下列命题：

①；

②；

③；

④.

其中正确命题的序号是（    ）

A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①③④

【答案】B

【解析】

【分析】利用面面平行、线面垂直的性质可判断①；直接根据已知条件判断线线位置关系，可判断②；利用线面平行、垂直的性质可判断③；根据已知条件直接判断面面位置关系，可判断④.

【详解】因为直线平面，直线平面.

对于①，若，则，从而，①对；

对于②，若，则或，则与的位置关系不确定，②错；

对于③，若，则，因为，则，③对；

对于④，因为，，则或，则或、相交、重合，④错.

故选：B.

11. 设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：

①；

②；

③函数的图象关于原点对称；

④函数的图象关于点对称；

其中，正确结论的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.

【详解】令，

①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；

②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；

因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的，

又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确，

所以正确的有：①②④，

故选：C.

【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：

（1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称；

（2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称.

12. 已知一种放射性元素最初的质量是，按每年10%衰减.（已知，），则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（    ）（结果精确到0.1）

A. 7.6年 B. 7.8年 C. 6.2年 D. 6.6年

【答案】D

【解析】

【分析】列出指数方程，两边取对数，进行求解.

【详解】设这种元素的半衰期为t，则，两边取常用对数得：.

故选：D

二､填空题（共8小题，毎小题4分，共32分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程.）

13. 已知直线l经过，两点，则l的斜率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用两点斜率公式进行求解.

【详解】利用斜率公式：

故答案为：

14. 如果且，则___________.

【答案】1

【解析】

【分析】利用对数运算公式进行计算.

【详解】.

故答案为：1

15. 函数的定义域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】真数大于0，根号下要非负，列出不等式组，求出解集，进而求出定义域.

【详解】函数要满足：，解得：，故定义域：

故答案为：

16. 已知，那么___________.

【答案】##

【解析】

【分析】设，利用换元法可求得的表达式，即可得解.

【详解】设，则，所以，，则.

故答案为：.

17. 经过两条直线、交点，且与直线平行的直线方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出直线、的交点坐标，设所求直线方程为，将交点坐标代入直线方程，求出的值，即可得解.

【详解】联立，解得，故直线、交点坐标为，

设所求直线方程为，则，解得.

故所求直线的方程为.

故答案为：.

18. 已知一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】分析可知，该几何体为圆锥，确定该圆锥的母线长与半径，可求得该圆锥的侧面积.

【详解】由题意可知，该几何体是圆锥，且该圆锥的母线长为，底面半径长为，

因此，该圆锥的侧面积为.

故答案为：.

19. 设函数，如果，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】通过分和两种情况进行讨论，从而可求出的取值范围.

【详解】因为，所以或，

解得或，所以的取值范围是.

故答案为：.

20. 一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【分析】

根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线；三种情况得到答案.

【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；

当截面过正方体的体对角线时得（2）；

当截面既不平行于任何侧面也不过体对角线时得（1）；

但无论如何都不能截出（4）.

答案：（1）（2）（3）.

【点睛】本题考查了截面图形，漏解是容易发生的错误.

三､解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

21. 已知点，点，求线段AB的垂直平分线的方程.

【答案】

【解析】

【分析】法一：利用垂直得到线段AB的垂直平分线的斜率，结合AB的中点为，利用点斜式求出直线方程；法二：设线段AB的垂直平分线上任意一点，利用，建立方程，求出线段AB的垂直平分线的方程.

【详解】：（法一）设线段AB的垂直平分线为，因为，

所以，所以.

又AB的中点为.

线段AB的垂直平分线所在直线的方程为

即.

（法二）设是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则，即

化简得：

线段AB的垂直平分线的方程为.

22. 如图，已知矩形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的中点.

（1）求证：平面PAD；

（2）若，，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）取PD的中点E，连接EN，EA，只需证明四边形AMNE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可证明平面PAD；

（2）根据，从而只需求即可.

【小问1详解】

取PD的中点E，连接EN，EA，

因为分别为的中点，所以，

又因为M为AB的中点，所以，

所以，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，

又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.

【小问2详解】

因为矩形ABCD所在平面，，，所以，

所以，

又因为N为PC的中点，所以.

23. 已知函数.

（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；

（2）解不等式.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用函数单调性的定义证明即可；

（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.

【详解】解：（1）设任意的且，

则

，

且，

，，

即，

即，

即对任意的，当时，都有，

在区间上是增函数；

（2）由（1）知：在区间上是增函数；

又，

，

即，

即，

解得：，

即的解集为：.

【点睛】方法点睛：

定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：

1.取值：任取，，规定，

2.作差：计算，

3.定号：确定的正负，

4.得出结论：根据同增异减得出结论.

24. 已知一条动直线，

（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析，定点；   

（2）存在，且直线方程为.

【解析】

【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；

（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.

小问1详解】

证明：将直线方程变形为，

由，可得，

因此，直线恒过定点.

【小问2详解】

解：设点A的坐标为，若，则，

则、，直线的斜率为，

故直线的方程为，即，

此时直线与轴的交点为，则，，，

此时的周长为.

所以，存在直线满足题意.

25. 如下图所示，已知棱长为1正方体中，点E，F分别是棱AB，中点.

（1）求证：三条直线DA，CE，交于一点；

（2）求三棱台的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)两条相交直线确定一个平面，三条直线共点，可以通过三点共线得到；

(2)运用台体的体积公式求解.

【小问1详解】

证明：延长CE交DA的延长线于点O，易得.

在与中,

∴

∴

∴O､F､三点共线.

∴三条直线DA､CE､交于一点O.

【小问2详解】

26. “菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如表：

（1）根据上表数据，请你从下列函数中选取一个函数，较准确地描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：，，，确定此函数解析式并简单说明你选取该函数模型的理由；

（2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度.

【答案】（1）选取函数，，理由见解析   

（2），

【解析】

【分析】（1）由于时的函数值相同，所以选二次函数，然后利用待定系数法求解函数解析式即可，

（2）在抛物线对称轴处取得最大值，

【小问1详解】

选取函数

理由：根据已知点和的特点及几个函数模型的图象和性质，

可知二次函数模型与已知点拟合较好

由二次函数过点和

设二次函数为

将点代入可得：，

【小问2详解】

根据二次函数性质当时，的最大值为

烟花距地面距离最高时爆炸，达到制造时期望的爆裂时间，

应是最佳爆裂时间，此时，