2024~2025学年河北省唐山市丰南区高三上册10月月考数学试卷[有解析]

这是一份2024~2025学年河北省唐山市丰南区高三上册10月月考数学试卷[有解析]，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
3. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 函数的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
6. 定义在R上奇函数满足：任意，都有，设，，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A. 的图象的一条对称轴是直线B. 当时，
C. 函数有3个零点D.
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是
C. 设函数的3个零点分别是，则的取值范围是
D. 存在实数，使函数在内有最小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知，则的单调增区间为_______．
13. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.
14. 对于函数和，设，，若存在使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知中，a，b，c分别为角A，B，C对边，.
（1）求角C大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16. 设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）
17. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
19. 已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若恰有两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明.
2024-2025学年河北省唐山市丰南区高三上学期10月月考数学
检测试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果.
【详解】解不等式可得，
又可得只有当时，的取值分别为在集合中，
所以.
故选：C
2. 设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的实部概念得解.
【详解】因为，
所以复数的实部为，
故选：D
3. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据命题的否定的定义即可求解.
【详解】命题的否定为.
故选：B.
4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系
【详解】因为是幂函数且在上是减函数，
故，故，
故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
5. 函数的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，得到函数为奇函数，排除B、C，再由时，，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且满足，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B、C不符合题意；
又由当时，，所以，
所以A不符合题意，D符合题意.
故选：D.
6. 定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案.
【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有，
所以在R上单调递增，
又因为，
所以，
又因，，
所以，
所以
即.
故选：C.
7. 函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围.
【详解】函数，因为，，所以f′x≥0，
故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以.
因为对任意的，总存在，使成立，等价于，
所以，解得，故实数a的范围是.
故选：D.
8. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案.
【详解】由可得，即，
当时，，不等式在上显然成立；
当时，令，则在上恒成立，
由，在上，所以在上单调递增，
又时，，，所以只需在上恒成立，
即恒成立．
令，则，即在上单调递增，
其中，
故，
所以此时有．
综上，．
故选：C．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为，从而构造进行求解.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是；
对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是；
对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是；
对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是.
故选：BC
10. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A. 图象的一条对称轴是直线B. 当时，
C. 函数有3个零点D.
【正确答案】ACD
【分析】由条件结合奇函数的性质和偶函数的性质列关系式，得对称性判断选项A；由函数单调性判断选项B；利用函数图象交点个数得零点个数判断选项C；由周期性结合对称性求函数值判断选项D；周期性结合函数的性质求函数值的和判断选项D.
【详解】对于A：由于是偶函数，因此可以得到，
用替换可以得到，则的对称轴为，
选项A正确；
对于B：当时，显然是一个增函数，此时，因此，
选项B错误；
对于C：由于是奇函数，因此可以得到，
则，因此，故，
因此，则，则4是函数的周期.
当x∈0,1时，是一个向下凹的曲线，在的下方，
容易知道是两者一个交点的横坐标，由于是的对称轴，
因此当时，，
由于，因此当时，，
而4是函数的周期，因此当时，y=fx和无交点.
由于，且4是函数的周期，因此，
进一步得到，因此，
故是奇函数，而也是奇函数，因此当时两者也只有一个交点，
显然是它们一个交点的横坐标，故总共有三个交点，即y=gx有三个零点，
选项C正确.
对于D：由于，因此，有.
则，D选项正确.
故选：ACD.
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是
C. 设函数的3个零点分别是，则的取值范围是
D. 存在实数，使函数在内有最小值
【正确答案】BC
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A错误；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；设函数的3个零点分别是，得到，令，利用导数求得函数的单调性和最值，可判定C正确；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增，
则，即，所以，所以A错误；
对于B中，令，当时，可得，
若函数有3个零点，则需有一个零点，则；
当时，可得，若函数有3个零点，
则需有两个不等的负实根，则满足，解得，
所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确.
对于C中，设函数的3个零点分别是，
则，可得，
令，可得，
则在上单调递减，所以，
当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为，
即的取值范围是，所以C正确；
对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，
故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，所以，
要使函数在内有最小值，即，即，故无解，
所以不存在，所以D不正确.
故选：BC.
方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知，则的单调增区间为_______．
【正确答案】##
【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，得，所以的单调增区间为.
故
13. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.
【正确答案】
【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.
【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为0,1；
则曲线在处的切线为，
显然，设切点，
由，解得.
故2
14. 对于函数和，设，，若存在使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为_____________．
【正确答案】
【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.
【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知，
结合“零点相邻函数”的定义可得，则，
据此可知函数在区间上存在零点，
即方程在区间上存在实数根，
整理可得：，
令，则，
根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，，
则
据此可知实数的取值范围是.
故
方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.
（1）求角C的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先根据正弦定理角化边公式得到，再利用余弦定理求解即可.
（2）首先根据三角形面积得到，利用余弦定理得到，即可得到三角形的周长.
【详解】（1）因为
由正弦定理可得，即.
由余弦定理知
又因，所以；
（2），的面积，
即，
所以
，
所以，即.
所以的周长为.
16. 设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）
【正确答案】（1），；
（2）.
【分析】(1)设等差数列公差d，正项等比数列公比q，根据给定条件列出方程组求解即可作答.
(2)利用分组求和方法分别求出等差数列前11个奇数项的和，等比数列前10个偶数项的和即可计算作答.
【小问1详解】
设等差数列公差为d，正项等比数列公比为q(q>0)，依题意，，解得，
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
【小问2详解】
由(1)知，，数列是等差数列，首项为2，公差为4，
，数列是等比数列，首项为4，公比为4，
而，数列的前21项的和：
，
所以数列的前21项的和为.
17. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【正确答案】（1）
（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【小问1详解】
当时，，
当时,，
所以.
【小问2详解】
当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【小问1详解】

连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
【小问2详解】
过作，垂足为，过作，垂足为,连接.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于
【小问3详解】
[方法一：几何法]

过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是.
[方法二：等体积法]

辅助线同方法一.
设点到平面的距离为.
，
.
由，即.
19. 已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若恰有两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明.
【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）（i）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；（ii）结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得.
【小问1详解】
当时，，，
，则，
则的图象在处的切线方程为，即；
【小问2详解】
（i），
令，由恰有两个极值点，，
则有两个不同实数根，，且，
则有，即；
（ii）由（i）知，，且，，
则
，
则要证，即证，
即，
令，
，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，，
故存，使，即，
则当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
由，则，
即，即，
即可得证.
关键点点睛：最后一问关键点在于借助零点的存在性定理得到存在，使，从而可得.