2024~2025学年北京市通州区高三上册第一次月考数学试卷[有解析]

这是一份2024~2025学年北京市通州区高三上册第一次月考数学试卷[有解析]，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合,则
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知，，，则（ ）．
A. B.
C. D.
5. 在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 中，“”是“”的（ ）条件
A. 充分而不必要B. 必要而不充分
C. 充分且必要D. 既不充分也不必要
7. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函数，当时，取得最小值，则m取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. “开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 函数的定义域是_____________．
12. 记为等差数列an的前项和.已知，，则______.
13. 已知向量，．若存在实数，使得与方向相同，则的一个取值为__________．
14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，_________，_________.
15. 已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为______.
三、解答题，本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.
16. 已知函数．
（1）求值；
（2）求的最小正周期；
（3）求在区间上的最大值和最小值．
17. 在中，角所对的边分别为已知.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
18. 设函数，直线是曲线在点处的切线.
（1）当时，求的单调区间.
（2）求证：不经过点.
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）若，，求的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间.
条件①：的最大值为2；
条件②：图象关于点中心对称；
条件③：图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
20. 在中，．
（1）求A；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积.
条件①：；
条件②：a=2；
条件③：．
21. 已知函数,其中．
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;
（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．
2024-2025学年北京市通州区高三上学期第一次月考数学检测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 已知集合,则
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
先解不等式得集合A，再求并集的结果.
【详解】因为，所以 ，选D.
本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.
【详解】A选项，，是R上的增函数，但不是奇函数，故A错误；
B选项，，是奇函数，但不是增函数，故B错误；
C选项，，，
，是奇函数，
又，，，
所以不是增函数，故C错误；
D选项，，画出其图像，
可得既是奇函数又是增函数.
故选：D.
3. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【分析】化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.
【详解】，，所以的虚部为.
故选：C
本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.
4. 已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：因为所以选C．
考点：比较大小
5. 在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
因为在等腰梯形ABCD中，，所以,
因为M为BC的中点，所以
,
故选:B.
6. 中，“”是“”的（ ）条件
A. 充分而不必要B. 必要而不充分
C. 充分且必要D. 既不充分也不必要
【正确答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件及三角函数可得解.
【详解】因为时，，而时，或.
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
7. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】由图得到周期与单调递减区间即可.
【详解】由图可知，在区间上单调递减，
由图可知周期；
故的单调递减区间为，.
故选：D
8. 已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，，，C错误；
对于D，，，D错误.
故选：B.
9. 已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解．
【详解】当时，单调递增，则；
当时，开口向上，且对称轴为，
又当时，取得最小值，
所以，解得，
所以m的取值范围为．
故选：B．
10. “开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正确答案】A
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题得，在喝酒后，血液中酒精含量与时间的关系为，
建立不等式，则，
所以.
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 函数的定义域是_____________．
【正确答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故
12. 记为等差数列an的前项和.已知，，则______.
【正确答案】
【分析】
首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.
【详解】由题知：，解得.
所以
故
13. 已知向量，．若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为__________．
【正确答案】（答案不唯一，小于的实数均可）
【分析】由两向量同向可知，由此可构造方程组求得，由可求得满足题意的的范围，进而得到结果.
【详解】与方向相同，，，，
由得：，
存在实数，，使得与方向相同.
故（答案不唯一，小于的实数均可）.
14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，_________，_________.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】由三角函数定义求出，利用正弦和余弦二倍角公式，同角三角函数关系求出答案.
【详解】由三角函数定义得，，
则，
又，
则.
故，
15. 已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为______.
【正确答案】24
【分析】利用累加法得到，，即可得到，然后对分奇数和偶数两种情况讨论.
【详解】由题意得，，
所以
，
又，
所以，，
当为偶数时，令，解得，
当为奇数时，令，因为函数的对称轴为，
当时，，当时，，所以，
综上可得集合中元素的个数为.
故24
三、解答题，本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.
16. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期；
（3）求在区间上的最大值和最小值．
【正确答案】（1）-1； （2）；
（3）最大值为，最小值为．
【分析】（1）自变量直接代入求值；
（2）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型函数性质求最小正周期；
（3）利用正弦型函数性质求区间最值即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
由题设．
所以的最小正周期为．
【小问3详解】
因为，所以，
当，即时，取得最大值，
所以在区间上的最大值为；
当，即时，取得最小值，
所以在区间上的最小值为．
17. 在中，角所对的边分别为已知.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由余弦定理求出，即可得出角C的大小；
（2）由正弦定理即可求出答案；
（3）求出，由二倍角公式求出，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（1）在中，由余弦定理及，有
，又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理及.
可得.
（3）由及，可得，
，
，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，关键点是熟练掌握有关公式的运用，考查学生的数学运算能力.
18. 设函数，直线是曲线在点处的切线.
（1）当时，求的单调区间.
（2）求证：不经过点.
【正确答案】（1）单调递増区间为，单调递减区间为
（2）证明见解析.
【分析】（1）先将参数代入函数方程，然后判断函数定义域，求导计算单调区间即可；
（2）先求切线斜率，然后假设经过原点，所以切线斜率等于切点与原点连线斜率，得到该方程无解，故假设不成立，得到结论.
【小问1详解】
当时，，
显然的定义域为，
，
显然，当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递増；
所以，单调递増区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由题可知，，
所以直线的斜率为，
假设直线过原点，则有，
因为，所以有，
令，得，
因为，所以，
所以单调递增，
所以，故无解，
故假设直线过原点错误，所以直线不过原点.
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）若，，求的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间.
条件①：的最大值为2；
条件②：图象关于点中心对称；
条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【正确答案】（1）
（2）；
【分析】（1）根据条件，代入，即可求解；
（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，然后代入函数单调递增区间，即可求解.
【小问1详解】
因为，，则，且，则；
【小问2详解】
因为函数的最小正周期为，则，
若选①②，则，且，
又，则，则，所以，
所以，
若选择①③，则，且，则，
又，则，则，则，
所以
若选择②③，由②可知，，
由③可知，，则，
所以，
令，得，
所以函数的单调递增区间是
20. 在中，．
（1）求A；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积.
条件①：；
条件②：a=2；
条件③：．
【正确答案】（1）或
（2）答案见解析
【分析】（1）运用正弦定理边角互化可解；
（2）若选择①：运用正弦定理，结合面积公式可解；
若选择②：运用正弦定理，结合面积公式可解；
若选择③：运用正弦余弦定理，结合面积公式可解.
【小问1详解】
因为，
则由正弦定理可得，，
又因为，所以，
又因为A为的内角，
所以或；
【小问2详解】
若选择①：因为，且,
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以；
若选择②：因为，
所以，则，则.
所以，则为等腰直角三角形，
所以；
若选择③：因为，
所以，
由余弦定理可得，，
当时，，即，解得;
当时，，即，解得；
此时不唯一，不合题意．
21. 已知函数,其中．
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;
（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．
【正确答案】（1）
（2）1个 （3）证明见解析
【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;
(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;
(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.
【小问1详解】
解:由题知,
,
,
,
故在点处的切线方程为,
即;
【小问2详解】
由题,,
,
,
,
故在上单调递增,
,
故有1个零点;
【小问3详解】
由题,,
,
令
,
即在上单调递增,
,
且
,
故,使得,
即
在上单调递增,
即,单调递减,
即,单调递增,
故,
若恒成立,
只需,
即即可,
故存在实数m,使恒成立.
方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:
(1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;
(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;
(3)对新的函数进行求导求单调性;
(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;
(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.