2025年河北省秦皇岛市山海关区高考数学二模试卷（含答案）

这是一份2025年河北省秦皇岛市山海关区高考数学二模试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=1+i(1−i)2，则z的实部是( )
A. −12B. 12C. −12iD. 12i
2.设向量a=(x,2)，b=(6,3).若a//b，则x=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.下列函数中，以π2为周期且在区间(π4,π2)上单调递增的是( )
A. y=sin4xB. y=cs4xC. y=tanxD. y=−tan2x
4.已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足2a4=a3+5，则S9=( )
A. 35B. 40C. 45D. 50
5.函数f(x)=3x3+xe|x|的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.双曲线x2a2−y2b2(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知PF2=2，直线PF1的斜率为 24，则双曲线的方程为( )
A. x28−y24=1B. x24−y28=1C. x24−y22=1D. x22−y24=1
7.如图，三棱锥V−ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AV=2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )
A. (2− 3)：1
B. (2 3−3)：1
C. ( 3−1)：3
D. ( 3−1)：2
8.已知函数f(x)=x2−x,x≤0x−alnx,x>0，若∀x1≤0，∃x2>0，使f(x2)=f(x1)成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0)∪[e，+∞)B. [e,+∞)
C. (0,e]D. [0,e]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合M={x|x=m+12,m∈Z},N={x|x=2n−32,n∈Z},P={x|x=p2,p∈Z}，则( )
A. N⊆PB. P⊆MC. N⊆MD. M⊆N
10.已知函数f(x)=x3−x+1，则( )
A. f(x)有两个极值点B. f(x)有一个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
11.设焦点为F的抛物线Γ：y2=2px(p>0)的准线为l1，A(12,λ)为Γ上一点，|AF|=52，过点F的直线l2与Γ交于B，C两点，则( )
A. p=4
B. |BC|的最小值为8
C. 以BF为直径的圆与l1相切
D. l1上存在点P，使得△PBC为正三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式( 2x−1 x)6的展开式中x3的系数是______．
13.已知α，β均为锐角，且sinα=45，tan(α+β)=−2，则cs2β= ______．
14.有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有p(0≤p≤1)的概率消失，有1−P2的概率保持不变，有1−P2的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过12，则p的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
(1)判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱A1B1的中点．
(1)求证：C1M//平面DB1E；
(2)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知P为圆M：(x+1)2+y2=16上任意一点，点N(1,0)，线段PN的垂直平分线与PM交于点Q，记点Q的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点N作直线l(与x轴不重合)与C相交于点D，E，直线l与y轴交于点B，BD=EN，求l的方程．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−2ax(其中a∈R)．
(1)当a=2时，求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程；
(2)若f(x)≤2恒成立，求a的取值范围；
(3)设g(x)=f(x)+12x2，且函数g(x)有极大值点x0.求证：x0f(x0)+1+ax 02>0．
19.(本小题17分)
定义：对于数列{an}若存在常数t，对任意的n∈N∗都有|an+1−an|+|an−an−1|+…+|a2−a1|≤t，则称数列{an}为和谐数列．
(1)已知数列an=(12)n，判断{an}是否为和谐数列，并说明理由；
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，证明：若{Sn}是和谐数列，则{an}也是和谐数列；
(3)若{an}，{bn}都是和谐数列，证明{anbn}也是和谐数列．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.A
6.D
7.C
8.A
9.AC
10.ABC
11.BD
12.60
13.−35
14.15
15.解：(1)易知从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，
所以喜欢跑步的人有200×0.6=120(人)，不喜欢跑步的人有200−120=80(人)，
列联表如下所示：
则χ2=200×(80×20−40×60)2120×80×140×60≈1.5872=|MN|，
可知点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
则a=2,c=1,b= a2−c2= 3，所以C的方程为x24+y23=1；
(2)因为点N(1,0)在椭圆内部，可知直线l与椭圆必相交，

设直线l：x=my+1(m≠0)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，则B(0,−1m)，
联立方程x=my+1x24+y23=1，消去x可得(3m2+4)y2+6my−9=0，
则y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
又因为BD=(x1,y1+1m),EN=(1−x2,−y2)，
若BD=EN，则y1+1m=−y2，即y1+y2=−1m，
可得−6m3m2+4=−1m，解得m=±2 33，
所以l的方程为x=±2 33y+1，即 3x±2y− 3=0．
18.解：(1)当a=2时，f(x)=lnx−4x，则f′(x)=1x−4(x>0)，
∴f(1)=−4，f′(1)=−3，
∴函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y−(−4)=−3(x−1)，
即3x+y+1=0.
(2)不等式f(x)≤2，即lnx−2ax≤2，∴2ax≥lnx−2，
∵x>0，∴2a≥lnx−2x恒成立，
令φ(x)=lnx−2x(x>0)，则φ′(x)=3−lnxx2，
当0e3时，φ′(x)1或a