【25年秋季】新人教版八年级数学上册专项讲练专题12.1 全等三角形（知识讲解）

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1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；
2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；
3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【知识要点】
要点一、全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
要点二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
要点三、对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
特别说明：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
要点四、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【典型例题】
类型一、全等三角形的概念
1．如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【分析】
直接利用已知结合全等的定义得出答案．
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
举一反三：
【变式1】 如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和．
【分析】
根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可．
解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．
【变式2】已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．
【答案】∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
试题分析：关键是找准对应顶点．
解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
类型二、全等三角形的识别
2．观察下列图形的特点：
有几组全等图形？请一一指出：___________．
【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10
【分析】根据全等图形的定义判断即可．
解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10；
故答案为1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10
【点拨】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．
试题分析：直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．
解：如图所示：红色分割线即为所求．
【点拨】作图—应用与设计作图．
【变式2】找出下列图形中的全等图形．
【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案．
解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形．
【点拨】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义．
类型三、全等三角形的性质
3、如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)解：∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，△ABC≌△ADE，延长BC交AD、DE于点F和点G，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【答案】90°，65°
【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC=120°，则可计算出∠CAB=55°，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠BAF+∠B=90°，据此即可解答．
解：∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D=25°，∠EAD=∠CAB
又∵∠EAB=120°
∴∠CAB=（∠EAB－∠CAD）÷2=（120°－10°）÷2=55°，
∵∠DFB=∠CAD＋∠CAB+∠B
∴∠DFB=10°＋55°＋25°=90°
∴∠ACB=180°－∠B－∠CAB =180°－25°－55°=100°
又∵∠DGB=∠DFB－∠D
∴∠DGB=90°－25°=65°
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
【变式2】如图,在△中, ,分别是边,上的点，若△≌△≌△， 求的度数．
【答案】30°
【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得．
解：∵△≌△≌△，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理，求得是解决本题的关键．
类型四、全等三角形的应用
4、方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．
【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．
【点拨】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可．
解：如图所示即为所求．
【点拨】题目主要考查了全等图形的定义及学生的空间想象能力，理解全等图形的定义是解题关键．
【变式2】沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．
【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．
解：共有个小正方形，
被分成四个全等的图形后每个图形有，
如图所示：
，
【点拨】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．