专题12.7 三角形全等的判定3（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.7  三角形全等的判定3（知识讲解）

【学习目标】

1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.

2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.

【要点梳理】

 要点一、判定直角三角形全等的一般方法

由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.

要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.

特别说明：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.

【典型例题】

类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 

1、  如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，AC＝CE．

（1）AC与CE有什么位置关系？

（2）请证明你的结论．

【答案】（1）AC⊥CE；（2）见解析

【分析】

（（1）根据题意写出结论即可．

（2）由条件可证明Rt△ABC≌Rt△CDE，得到∠ECD＝∠A，进一步可得∠ECA＝90°，可证得结论．

 解：（1）．

（2）证明：，，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

．

【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法定理是解题的关键．

举一反三：

 【变式】 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，CE=DE．连接CD交BE于点F．

（1）求证：BC=BD；

（2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数．

【答案】（1）见详解；（2）60°．

【分析】

（1）利用HL直接证明Rt△DEB≌Rt△CEB，即可解决问题．

（2）首先证明△ADE≌△BDE，进而证明∠AED=∠DEB=∠CEB，即可解决问题．

证明：（1）∵DE⊥AB，∠ACB=90°，

∴△DEB与△CEB都是直角三角形，

在△DEB与△CEB中，

，

∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL），

∴BC=BD．

（2）∵DE⊥AB，

∴∠ADE=∠BDE=90°；

∵点D为AB的中点，

∴AD=BD；

在△ADE与△BDE中，

，

∴△ADE≌△BDE（SAS），

∴∠AED=∠DEB；

∵△DEB≌△CEB，

∴∠CEB=∠DEB，

∴∠AED=∠DEB=∠CEB；

∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°，

∴∠AED=60°．

【点拨】该命题以三角形为载体，以考查全等三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定及其性质，来分析、判断或推理．

2、  如图，在ABC 中， AC  BC ，直线l 经过顶点C ，过 A ， B 两点分别作l 的垂线 AE ， BF ， E ， F 为垂足． AE  CF ，求证： ACB  90 ．

【答案】见解析

【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC＋ACE＝90°，所以∠ACE＋∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．

 证明：如图，在RtACE 和RtCBF 中，

∵AC  BC，AE  CF ，

∴RtACE ≌ RtCBF（HL） ，

∴EAC  BCF  ，

∵EAC  ACE   90 ，

∴ACE  BCF   90 ，

∴ACB  180  90  90 ．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】 如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点，，，．

（1）求证：；

（2）若，求线段的长．

【答案】（1）见详解；（2）1

【分析】

（1）先证明AC=DF，再根据HL证明；

（2）先证明∠AFG=∠DCH，从而证明∆AFG≅∆DCH，进而即可求解．

（1）证明：∵，

∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，

在与中，

∵，

∴≅（HL）；

（2）∵≅，

∴∠A=∠D，∠EFD=∠BCA，

∵∠AFG=180°-∠EFD，∠DCH=180°-∠BCA，

∴∠AFG=∠DCH，

又∵，

∴∆AFG≅∆DCH，

∴HC=GF =1．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL和ASA证明三角形全等，是解题的关键．

类型二、全等性质和“HL”综合运用 

3、（2020·江西赣州市·八年级期末）已知：，，，．

（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．

（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．

（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．

【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【分析】

（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；

（2）同（1）的方法，即可得出结论；

（3）同（1）的方法，即可得出结论．

 解：（1）理由如下：

∵，，

∴

在和中

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）成立，理由如下：

∵，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴；

（3）成立，理由如下：

∵，，

∴

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴．

【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．

【变式1】已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．

求证：（1）；（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性质即可得到结论.

（2）根据全等三角形的性质得到∠C=∠A，根据平行线的判定即可得到AB∥CD.

    证明： ∵  DE⊥ AC， BF⊥ AC

∴ ∠DEC=∠BFA=90°

在Rt△ DEC和Rt△ BFA中

AB=CD

DE=BF

∴  Rt△ DCE≌Rt△ BFA（HL）

∴  AF=CE

∴ ∠C=∠A

∴ AB∥ CD

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

【变式2】如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．

求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．

 【分析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，由BF=EC可得BC=EF，又因为AB=DE，所以Rt△ABC≌Rt△DEF．

 解：∵BF=EC，

∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABC和△DEF都是直角三角形，

在Rt△ABC和Rt△DEF中，，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

【点拨】本题考查掌握直角三角形全等的判定方法．